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| Aufgabe | Gegeben sind die Geraden
g: [mm] x=\vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
h1: [mm] x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
h2: [mm] x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
h3: [mm] x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Wie liegt g zu h1, zu h2 bzw zu h3?
Falls existent, berechnen Sie den Schnittpunkt von g und hi (i [mm] \in [/mm] {1,2,3}) |
g zu h1:
g=h1: [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= s*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \vmat{ -1 + t = 3s \\ -2 + t=2s \\ 1=S}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] s=1, t=4
t ing g einsetzen
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ 4*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= \vektor{4 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
s in h1 einsetzen: [mm] \Rightarrow \vektor{4 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
der schnittpunkt ist [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 2}
[/mm]
g =h2:
[mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= s*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \vmat{ -1 + t = 2s \\ -2 + t=2s \\ 1=S}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] t=3, t=4 widerspruch [mm] \Rightarrow [/mm] die geraden sind windschief
und g zu h3 sind linear abbängig und paallel zueinander
und wie löse ich den zweiten teil der aufgabe?
"Falls existent, berechnen Sie den Schnittpunkt von g und hi (i [mm] \in [/mm] {1,2,3})"
wie würde hi in der punktrichtungsform aussehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sind die Geraden
>
> g: [mm]x=\vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> h1: [mm]x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> h2: [mm]x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> h3: [mm]x=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{-1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> Wie liegt g zu h1, zu h2 bzw zu h3?
> Falls existent, berechnen Sie den Schnittpunkt von g und
> hi (i [mm]\in[/mm] {1,2,3})
> g zu h1:
>
> g=h1: [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
>
> [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= s*\vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\vmat{ -1 + t = 3s \\ -2 + t=2s \\ 1=S}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] s=1, t=4
>
> t ing g einsetzen
>
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ 4*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= \vektor{4 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> s in h1 einsetzen: [mm]\Rightarrow \vektor{4 \\ 3 \\ 2}[/mm]
>
> der schnittpunkt ist [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ 2}[/mm]
Das stimmt
>
>
>
> g =h2:
>
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= s*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\vmat{ -1 + t = 2s \\ -2 + t=2s \\ 1=S}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] t=3, t=4 widerspruch [mm]\Rightarrow[/mm] die geraden
> sind windschief
>
Auch das stimmt
>
> und g zu h3 sind linear abbängig und paallel zueinander
Das stimmt nicht, die Richtungvektoren von g und h sind doch nicht parallel, daher bleiben nur die beiden Möglochkeiten "Schittpunkt" oder "windschief"
>
>
> und wie löse ich den zweiten teil der aufgabe?
>
> "Falls existent, berechnen Sie den Schnittpunkt von g und
> hi (i [mm]\in[/mm] {1,2,3})"
Dazu müssten wir die Geradengleichung [mm] h_i [/mm] kennen.
>
> wie würde hi in der punktrichtungsform aussehen?
Ohne [mm] h_i [/mm] zu kennen, können wir das nicht beantworten.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Sa 16.11.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
> Ohne [mm]h_i[/mm] zu kennen, können wir das nicht beantworten.
es ist kein hi gegeben
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> > Ohne [mm]h_i[/mm] zu kennen, können wir das nicht beantworten.
>
> es ist kein hi gegeben
???
Es sind doch [mm] h_i, [/mm] i=1,2,3,
also [mm] h_1, h_2, h_3 [/mm] gegeben. (?)
Über deren Punkt-Richtungsform muß man sich nicht den Kopf zerbrechen, denn sie sind in Punkt-Richtungsform.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Sa 16.11.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
achso
hi= h1, h2 und h3
ich dachte hi wäre eine neue vierte gerade
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> Das stimmt nicht, die Richtungvektoren von g und h sind
> doch nicht parallel, daher bleiben nur die beiden
> Möglochkeiten "Schittpunkt" oder "windschief"
aber g und h3 sind doch linear abhängig oder?
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}= \lambda \vektor{-1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vmat{ 1= -\lambda \\ 1= -\lambda \\ 0= 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=1, \lambda [/mm] = 1
das beduetet doch, dass die geraden parallel sind oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> > Das stimmt nicht, die Richtungvektoren von g und h sind
> > doch nicht parallel, daher bleiben nur die beiden
> > Möglochkeiten "Schittpunkt" oder "windschief"
>
>
> aber g und h3 sind doch linear abhängig oder?
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= \lambda \vektor{-1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 1= -\lambda \\ 1= -\lambda \\ 0= 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda=1, \lambda[/mm] = 1
>
> das beduetet doch, dass die geraden parallel sind oder
> nicht?
In deiner Anfrage vom Anfang war
$ [mm] h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ \red{1}} [/mm] $
und
$ [mm] g:\vec{x}=\vektor{0 \\ -1 \\ 2}+ t\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ \red{0}} [/mm] $
Diese Richtungsvektoren sind nicht parallel, daher können die Geraden dann ebenfalls nicht mehr parallel sein.
Marius
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> In deiner Anfrage vom Anfang war
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ \red{1}}[/mm]
oh sry das ist ein tippfehler. richtig wäre
[mm] h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ \red{0}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
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> > In deiner Anfrage vom Anfang war
> > [mm]h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ \red{1}}[/mm]
>
>
> oh sry das ist ein tippfehler. richtig wäre
>
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s\cdot{}\vektor{-1 \\ -1 \\ \red{0}}[/mm]
Dann sind die Geraden in der Tat parallel. Bleibt noch die Frage, ob "echt parallel" oder sogar identisch.
Dazu mache die Punktprobe, prüfe also, ob der Stützpunkt von g auf [mm] h_3 [/mm] liegt. Ist das der Fall, sind die Geraden sogar identisch.
Marius
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