Gerüchte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | In einer Stadt mit n+1 Einwohnern erzählt eine Person einer zweiten ihr Gerücht. Diese ihrerseits erzählt es einer dritten und so weiter. Bei jedem Schritt wird der "Empfänger" rein zufällig aus den n möglichen ausgewählt. Das Gerücht beginnt bei einem rein zufällig ausgewählten Initiator und werde r-mal weitererzählt.
(a) Geben Sie einen geeignten Wahrschkraum an
(b) Man berechne die Wahrschkeiten folgender Ereignisse:
(i) das Gerücht kehrt nicht zum Urheber zurück
(ii) das Gerücht wird keiner Person zweimal erzählt
(c) Man berechne den Limes der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis in (b)i für n -> [mm] \infty, [/mm] falls r=n+1. |
Guten Abend,
hier hab ich noch so ein mich-zum-verzweifeln-bringt Aufgabe.
Als erstes hab ich mir überlegt, könnte man dafür das Urnenmodell mit Reihenfolge nehmen? eigentlich dachte ich ohne zurücklegen, aber da in der aufgabe steht dass der empfänger immer aus n möglichkeiten ausgewählt wird, ist es doch mit zurücklegen, nur dass es sich niemand selbst erzählt?
d.h. es gibt [mm] \frac{n!}{(n-r)!} [/mm] Möglichkeiten?
(a) [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ (w_1,...w_r): w_i \in {1....n} \}, [/mm] A=P(A) (Potenzmenge)
(b) (i)bedeutet, dass [mm] w_1 [/mm] nicht nochmal auftreten darf, richtig?
(ii) [mm] w_i [/mm] sind paarweise verschieden ?
aber wie berechnet man davon die Wahrscheinlichkeiten??
viele grüße
riley
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Sa 03.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Also das Gerüchteweitererzählen ist im Prinzip ein r-Tupel (genau der Wahrscheinlichkeitsraum)
Im Fall ohne Beschränkung gäbe es für jeden der r Stellen n Möglichkeiten (nicht n+1 - wegen dem nicht selbsterzählen) also insgesamt
[mm] n^{r} [/mm]
Möglichkeiten
(i) An der ersten STelle n Möglichkeiten und an den restlichen r-1 Stellen jeweils n-1 Möglichkeiten (dem Gerüchte-urprungserzähler und sich selbst nicht). Daher günstige Fälle
[mm] n(n-1)^{r-1} [/mm]
daher Wahrscheinlichkeit^
[mm] \bruch{n(n-1)^{r-1}}{n^{r}} [/mm] =
[mm] (1-\bruch{1}{n})^{r-1} [/mm]
bei r=n+1 strebt das gegen [mm] e^{-1}
[/mm]
(ii) Das Gerücht wird keiner Person 2 mal erzählt.
Das heißt man muss aus den n Personen r auswählen also
[mm] \vektor{n \\ r} [/mm] Möglichkeiten daher ist die Wahrscheinlichkeit
[mm] \bruch{\vektor{n \\ r}}{n^{r}}
[/mm]
Das wars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 03.03.2007 | | Autor: | Riley |
Hi,
vielen dank für deine hilfe!
warum benutzt man bei (ii) aber das modell"ziehen ohne zurücklegen ohne Reihenfolge"? warum nimmt man nicht das mit reihenfolge?
also dass es n (n-1) ... (n-r+1) Möglichkeiten gibt das Gerücht weiterzuerzählen??
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 04.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Du hast Recht die Reihenfolge ist doch entscheidend.....
Habe ich übersehen
LG
wauwau
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 04.03.2007 | | Autor: | Riley |
hm, okay, d.h.
P(B) = [mm] \frac{n (n-1) ... (n-r+1)}{n^r}
[/mm]
stimmt es dann so ganz sicher?
und die reihenfolge ist wichtig, damit eine Gleichverteilung vorliegt und man die wahrscheinlichkeit auf diesem wege berechnen kann'?
viele grüße
riley
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 04.03.2007 | | Autor: | wauwau |
Genau.
bei r=n also
[mm] [mm] \bruch{n!}{n^{r}} [/mm] wegen der Stirlingschen formel geht die Grenzwahrscheinlichkeit aber gegen 0, was auch einleuchtend ist aber gar nicht gefragt war.
|
|
|
|
