Gesetz der großen Zahlen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Fr 27.11.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Es sei [mm] (X_i)_{i \in \IN} [/mm] eine Folge paarweiser nicht positiv korrelierter Zufallsvariablen mit [mm] \IE X_i=0 [/mm] und [mm] \IV(X_i)\le a<\inf [/mm] für alle i [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie für alle [mm] y\ge [/mm] 1/2:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\IP(\bruch{1}{n^y}\summe_{i=1}^{n}X_i \ge [/mm] log(n))=0 |
Also das sieht ja ungefähr so aus, wie das gesetz der großen zahlen ( da ja die erwartungswerte alle 0 sind), ich dachte mir ich forme die ungleichung in den klammern so um, dass da irgendwass in der form [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i \ge [/mm] c
mit c=konstant größer null steht, dann hab ich ja das gesetz der großen zahlen quasi da stehen.
aber irgendwie komm ich da nicht hin. am ende steht bei mir
[mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}X_i \ge \bruch{n^y}{n*log(n)}
[/mm]
und der rechte teil darf doch nciht von n abhängen oder?
ist mein ansatz falsch?
kann mir sont jemand einen tipp in die richtige richtung geben?
vieeelen dank schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo,
kannst die Wkeit mit Hilfe der Tscheybscheff-Ungleichung nach oben abschätzen, wobei du als Zufallsvariable $X= [mm] \frac{1}{n^{\gamma}}*\sum_{i=1}^{n}X_i$ [/mm] nehmen musst. Es gilt dann wegen [mm] $EX_i=0$ [/mm] für alle i und wegen der Lin., dass $EX=0$. Dann kannst du die in der Ungleichung auftretende Varianz nach oben wieder abschätzen, und zwar mittels: Kovarianz [mm] $Cov(X_i,X_j)\le [/mm] 0$ für alle [mm] $i\not=j$ [/mm] und [mm] $Var(\sum X_i)=\sum Var(X_i)+2*\sum_{1\le i
Gruß
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 So 29.11.2009 | | Autor: | aly19 |
Hey, erstmal vielen dank für die hilfreiche antowrt.
also ich schreibe mal meine rechnung auf:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\IP(\bruch{1}{n^y}\summe_{i=1}^{n}X_i \ge [/mm] $log(n)) mit der tschbyschev_ungleichung folgt:
[mm] \le 1/(logn)^2 [/mm] * V [mm] (\bruch{1}{n^y}*\summe_{i=1}^{n}X_i)
[/mm]
[mm] =1/(logn)^2 (\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^{2y}} V(X_i)+\summe_{i\not=j}^{} \bruch{1}{n^y *n^y} K(X_i,X_j))
[/mm]
da nun [mm] K(X_i,X_j)\ge [/mm] o (wieso ist das so?????) folgt:
[mm] \le 1/(logn)^2 \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^{2y}} V(X_i)
[/mm]
[mm] \le 1/(logn)^2 (\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^{2y}} [/mm] a
[mm] =1/(logn)^2 \bruch{1}{n^{2y}} [/mm] an
und da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1/(logn)^2 \bruch{1}{n^{2y-1}} [/mm] a [mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} 1/(logn)^2 [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2y-1}} [/mm] a =0*0=0 ist, da 2*y-1 [mm] \ge [/mm] 0
folgt, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\IP(\bruch{1}{n^y}\summe_{i=1}^{n}X_i \ge $log(n))\le [/mm] 0 ist und da Wahrscheinlichkeiten nicht negativ sein können, muss gleichheit gelten??
ist das so richtig? ich hab das mit der kovarianz ein biisschen anders in meinem buch stehen gehabt.
wäre super froh über ein rückmeldung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 So 29.11.2009 | | Autor: | Fry |
Hey Aly,
stimmt alles soweit, auch von der Argumentation :).
Allerdings noch ein paar Kleinigkeiten:
(1) In der Aufgabenstellung steht was von nicht positiv korrelierten Zufallsvariablen: also gilt: [mm] $Cov(X_i,X_j)\le [/mm] 0$.
$Cov(X,Y)=0$ heißt X,Y unkorreliert
$Cov(X,Y)<0$ heißt X,Y negativ korreliert
$Cov(X,Y)>0$ heißt X,Y positiv korreliert
(2) Wenn den Limes vor der Wkeit steht, muss er auch im jeder Ungleichung auftauchen (es sei denn, du bestimmst ihn)
(3) du solltest noch als Zwischenschritt einfügen:
[mm] $P(X\ge log(n))\le P(|X|\ge [/mm] log(n))$ (denn: [mm] $\{X\ge a\}\subseteq \{|X|>a\}$)
[/mm]
Du willst ja die Wkeit ohne Betragsstriche abschätzen, die Tschebyscheff-Ungleichung enthält sie aber.
LG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 So 29.11.2009 | | Autor: | aly19 |
Vielen Dank, war eine sehr produktive Hilfe :)
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