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Gesetzmäßigkeiten.: Regeln erste Ableitung.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Do 19.02.2009
Autor: PeterSteiner

Aufgabe
Habe mal ein paar Regel verfasst wüsste gerne ob diese richtig sind und ob es eventuell noch welche gibt.

Vorweg muss ich sagen das wir bisher nur Ableitungen gezeichnet haben also die erste ohne Formal ohne alles aus der Hand.
Und umgekehrt haben wir das auch gemacht also aus einer Ableitung den normal Graphen gezeichnet.

Zu meinen Regeln:

Ein Hochpunkt auf f'ist ein Wendepunkt auf f
Ein Wendepunkt auf  f ist ein Hoch oder Tiefpunkt auf f'

Wenn f'die X-Achse schneidet handelt es sich um einen Hoch oder Tiefpunkt.
Wenn also die erste Ableitung der Funktion bei ihrer Nullstelle das Vorzeichen von + nach - wechselt so handelt es sich um einen Hochpunkt
Wenn das Vorzeichen von - nach + wechselt handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Wenn der Graph steigt ist er linksgekrümmt
Wenn der Graph fällt ist er rechtsgekrümmt

Habe ich vielleicht noch etwas vergessen zu erwähnen oder snd Fehler in meiner Ausführung. Wie bereits gesagt, wir haben bislang nur die erste Ableitung Graphisch behandelt.

        
Bezug
Gesetzmäßigkeiten.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Do 19.02.2009
Autor: abakus


> Habe mal ein paar Regel verfasst wüsste gerne ob diese
> richtig sind und ob es eventuell noch welche gibt.
>  Vorweg muss ich sagen das wir bisher nur Ableitungen
> gezeichnet haben also die erste ohne Formal ohne alles aus
> der Hand.
>  Und umgekehrt haben wir das auch gemacht also aus einer
> Ableitung den normal Graphen gezeichnet.
>  
> Zu meinen Regeln:
>  
> Ein Hochpunkt auf f'ist ein Wendepunkt auf f
>  Ein Wendepunkt auf  f ist ein Hoch oder Tiefpunkt auf f'
>  
> Wenn f'die X-Achse schneidet handelt es sich um einen Hoch
> oder Tiefpunkt.
>  Wenn also die erste Ableitung der Funktion bei ihrer
> Nullstelle das Vorzeichen von + nach - wechselt so handelt
> es sich um einen Hochpunkt
>  Wenn das Vorzeichen von - nach + wechselt handelt es sich
> um einen Tiefpunkt.
>  
> Wenn der Graph steigt ist er linksgekrümmt

Ungenau formuliert. Du meinst sicher
Wenn der Graph von f' steigt ist der Graph von f linksgekrümmt.

>  Wenn der Graph fällt ist er rechtsgekrümmt

Wenn der Graph von f' fällt ist der Graph von f rechtsgekrümmt.

>  

Alles andere klingt gut.
Gruß Abakus

> Habe ich vielleicht noch etwas vergessen zu erwähnen oder
> snd Fehler in meiner Ausführung. Wie bereits gesagt, wir
> haben bislang nur die erste Ableitung Graphisch behandelt.


Bezug
                
Bezug
Gesetzmäßigkeiten.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 Do 19.02.2009
Autor: PeterSteiner

Weitere Regeln bzw. Gesetzmäßgikeiten gibt es nicht die man so sehen kann und damit besser den graph zeichnen kann?

Bezug
                        
Bezug
Gesetzmäßigkeiten.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Do 19.02.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Peter,

die wesentlichen Inhalte der Kurvendiskussion sind

-Nullstellen und Schnittpunkt mit der Y-Achse
-Extrema (Hoch- und Tiefpunkte)
-Wendepunkte (Krümmungswechsel)
-Monotonie (Streng Monoton steigend/fallend?)
-Krümmungsverhalten (Links- und Rechtskrümmung)

Das hast du scheinbar alles schon herausgefunden! [ok]

Hin und wieder gibt es auch Terrassenpunkte/Sattelpunkte (= Wendepunkt mit waagrechter Tangente), dann sind die Bedingungen für den Terrassen- oder Sattelpunkt (was dir besser gefällt)

- die erste Ableitung null
- die zweite Ableitung null
- die dritte Ableitung ist ungleich null

Schau doch mal hier:

[]Kurvendiskussion - Übersicht

Falls ihr es nur mit ganzrationalen Funktionen zu tun habt, dann ist das im Grunde auch schon alles eigentlich.

Ansonsten sind natürlich auch die Definitionslücken und Polstellen (gebrochenrationale Fkt) von Interesse, damit man den Graphen auch richtig zeichnet :-)

Ich hoffe ich hab nichts vergessen.
Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
                                
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Gesetzmäßigkeiten.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Fr 20.02.2009
Autor: PeterSteiner

Hast du ein Beispiel für Definitionslücken und Polstellen?? wie kann ich mir das vorstellen und was meinst du mit der Gesetzmäßigkeit von Sattelpunkten? Meinst du damit das die Ableitung im Sattelpunkt an der X-Achse verläuft??

Bezug
                                        
Bezug
Gesetzmäßigkeiten.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Fr 20.02.2009
Autor: leduart

Hallo
Da ihr im Moment offensichtlich vorbereitet, die Ableitungsfunktion kennenzulernen, sind Luecken und Polstellen unwichtig. Damit du aber Beispiele hast:
Luecken hat man, wenn eine fkt an einer Stelle nicht definiert ist. Beispiel [mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x-1} [/mm] ist an der Stelle x=1 nicht definiert (weil 0/0 nicht definiert ist) die fkt hat bei x=1 also eine Luecke.
in der graphik kann man die nicht sehen, weil ueberall ausser bei x=1 das einfach die fkt f(x)=x+1 ist.
Polstelen sind Stellen im endlichen, an denen die Fkt unendlich gross wird, Beispiel f(x)=1/x hat bei x=0 eine Polstelle, tanx bei [mm] x=\pi/2 [/mm] usw. Polstellen hat man meist bei funktionen, die man als Bruch darstellt dann, wenn der Nenner 0 wird ohne dass der Zaehler gleichzeitig 0 wird
tanx+sinx/cosx gehoert dazu   [mm] f(x)=\bruch{x^2-1}{x-2} [/mm] usw.

Deine Zusammenstellung der Regeln fand ich gut! Wenn du sie auch noch richtig verstanden hast, und nicht nur auswendig lernst hast du schon ne Menge ueber Differentialrechnung gelernt!
Gruss leduart

Bezug
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