Gew. DGL p(t) einer Poulation < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 18.06.2006 | | Autor: | Biene85 |
| Aufgabe | Die logistische Funktion p(t) beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Population mit beschränktem Lebensraum. Sie genügt der DGL
p´(t) = p(t)*(a-b*p(t)) mit a,b>0
a) Mann bestimme p(t) als Lösung dieser DGL mit der Anfnagsbedingung
p(t0) = p0 |
Wie geh ich an die Sache ran? Ich hab schon alles probiert aber ich komme nicht auf die Lösung.
Die allgemeine Form ist doch y´=f(x)*g(y)
heisst das dass in meiner Gleichung g(y) = 1 ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Biene
Wie wärs mit ner Begrüßung und all dem anderen, was nett ist?
Z. Bsp. hast du auf deine letzte Frage ne ausführliche Antwort gekriegt, aber niemand weiss nu nich ob sie dir was genützt hat. Trotzdem noch ein Versuch:
> Die logistische Funktion p(t) beschreibt die zeitliche
> Entwicklung einer Population mit beschränktem Lebensraum.
> Sie genügt der DGL
> p´(t) = p(t)*(a-b*p(t)) mit a,b>0
>
> a) Mann bestimme p(t) als Lösung dieser DGL mit der
> Anfnagsbedingung
> p(t0) = p0
> Wie geh ich an die Sache ran? Ich hab schon alles probiert
> aber ich komme nicht auf die Lösung.
>
> Die allgemeine Form ist doch y´=f(x)*g(y)
>
> heisst das dass in meiner Gleichung g(y) = 1 ist?
Es ist immer ungünstig, wenn man zuviele verschiedene Bezeichnungen wählt. die Variable ist hier t, die gesuchte Funktion p so oben. unten Variable x, gesuchte fkt. p
also hast du p'=f(t)*g(p) und p'=p*(a-b*p) also keine explizite Funktion von t. also kannst du auch sagen f(t)=1: g(p)=p*(a-b*p)
Ich hoff, das beantwortet deine Frage.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 18.06.2006 | | Autor: | Biene85 |
Erst mal entschuldigung dafür dass ich mich nicht bedankt habe. Also für die schnelle Antwort schon mal ein ganz liebes Dankeschön an dich.
Was ich jetzt nicht verstehe oder was bei mir einfach keine sinnvolle Lösung gibt ist. Wenn ich die Variablen trenne und integriere und dann umstelle nach p.
Ich muss doch
[mm] \integral_{}^{}{1/(p*(a-bp)) dp}= \integral_{}^{}{ dt} [/mm] machen oder?
Dann links nach dp und rechts nach dt integrieren und komme auf
[mm] \bruch{ln (|pb-a|)/|p|)}{a}=t+C
[/mm]
Wenn ich das aber mache oder besser mein rechner macht das bekomme ich dann, wenn ich weiter umstelle nach p ein rießigen Bruch der nicht übereinstimmt mit dem was mein Lösungsheft mir sagt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo biene
>
> [mm]\bruch{ln (|pb-a|)/|p|)}{a}=t+C[/mm]
ich komme auf [mm] ln\bruch{a-bp}{p} [/mm] =a*t+C
beide Seiten e^ und du bekommst ne einfache Darstellung von p.
Was dein Rechner macht kann ich natürlich nicht beurteilen, weil für mich so was schneller ohne Rechner geht.
> Wenn ich das aber mache oder besser mein rechner macht das
> bekomme ich dann, wenn ich weiter umstelle nach p ein
> rießigen Bruch der nicht übereinstimmt mit dem was mein
> Lösungsheft mir sagt.
Also versuchs doch einfach ohne Rechner!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Biene85 |
Danke schon mal für deine Hilfe. Du wirst dich sicher krank lachen über meine doofen Fragen 
So eine Frage hab ich aber noch. Wie kommst du rechts auf at+C?
Da müsstest du ja recht a nach dt integriert haben und da wäre meine nächste Frage wie du das a aus dem (a-bp) rausbekommen hast?
Ich versteh das alles ni!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo biene
> Danke schon mal für deine Hilfe. Du wirst dich sicher krank
> lachen über meine doofen Fragen
>
> So eine Frage hab ich aber noch. Wie kommst du rechts auf
> at+C?
Du hast links a im Nenner stehen, ich hab die Gleichung damitmultipliziert. Nach dem Integrieren stand da nur t+C1 jetzt a*t*C mit C=C1*a
aber jetzt seht links der ln "nackt da und ich kann besser e^bilden,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 19.06.2006 | | Autor: | Biene85 |
Also wir reden glaub ich aneinander vorbei oder ich stell mich nur blöd an.
Das "a" hab ich doch erst links im Nenner stehen, nachdem ich links auch integriert habe. Dein ln ist auch anders nach dem integrieren als mein ln
deiner is ln (( a-bp)/p), meiner ist ln ((pb-a)/p). Das Problem liegt bei mir dann wohl schon beim integrieren. :-(
Wieso mussn das immer so schwer sein. :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mo 19.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo biene
Ich komm beim Integrieren auf [mm] 1/a*ln\bruch{p}{a-bp}=t+C [/mm] . DANACH hab ich die Gl. mit a multipliziert und die mitgeteilt. Eigentlich ist das doch wirklich dieselbe Gleichung.
Zum Integral: ich hab [mm] \bruch{1}{p*(a-bp)}= [/mm] 1/a*1/p +b/a*1/(a-bp)
das beides integriert ergibt :1/a*lnp [mm] -1/a*ln(a-bp)=1/a*ln\bruch{p}{a-bp}.
[/mm]
Wie hast du das Integral gerechnet?
Gruss leduart.
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