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Es geht um den Raum [mm] $B:=\{u \in \mathcal{C}([0,1]) \;| \; \parallel u\parallel:=sup_{0
Dabei ist mir klar, dass so eine gewichtete Norm äquivalent zur Supremumsnorm ist, wenn die Gewichtsfunktion positiv und beschränkt ist und deshalb der Raum der stetigen funktionen mit der gewichteten Norm wieder vollständig ist und dadurch auch ein Banachraum ist.
Nun habe ich aber hier das Problem, dass die Gewichtsfunktion $p(x):= [mm] \frac{1}{sin(\pi x)} [/mm] $ ja gar nicht beschränkt ist.
Weiß jemand ein Argument, warum $B$ trotzdem ein Banachraum ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:05 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es geht um den Raum [mm]B:=\{u \in \mathcal{C}([0,1]) \;| \; \parallel u\parallel:=sup_{0
>
> Dabei ist mir klar, dass so eine gewichtete Norm
> äquivalent zur Supremumsnorm ist, wenn die
> Gewichtsfunktion positiv und beschränkt ist und deshalb
> der Raum der stetigen funktionen mit der gewichteten Norm
> wieder vollständig ist und dadurch auch ein Banachraum
> ist.
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> Nun habe ich aber hier das Problem, dass die
> Gewichtsfunktion [mm]p(x):= \frac{1}{sin(\pi x)}[/mm] ja gar nicht
> beschränkt ist.
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> Weiß jemand ein Argument, warum [mm]B[/mm] trotzdem ein Banachraum
> ist?
1. Zu B gehören nur die auf [0,1] stetigen Funktionen u, für die [mm] sup_{0
2. Nimm Dir einen Cauchyfolge [mm] (u_n) [/mm] aus B her. Zu [mm] \varepsilon> [/mm] gibt es also ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] ||u_n-u_m||< \varepsilon [/mm] für n, m > N.
Zeige nun: für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] ist [mm] (u_n(x)) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] (oder [mm] \IC). [/mm] Damit ex.
[mm] u(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}u_n(x) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1].
Zeige weiter: u [mm] \in [/mm] B und [mm] (u_n) [/mm] konv. gegen u im Sinne der Norm auf B.
FRED
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Danke dir für die Antwort.
1.) hatte ich tatsächlich übersehen und nun ist mir zumindest schon mal klar, warum $B$ ein normierter Vektorraum ist.
Bei 2.) zweifle ich noch, ob das so einfach geht. Die punktweise Konvergenz in [mm] $\IR$ [/mm] scheint mir doch nur für Punkte [mm] $x_0 \in [/mm] (0,1)$ offensichtlich. Für die Randpunkte verstehe ich noch nicht, wie man da Konvergenz zeigen kann. Für die Konvergenz bzgl [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel$ [/mm] habe ich auch noch keine Idee.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke dir für die Antwort.
> 1.) hatte ich tatsächlich übersehen und nun ist mir
> zumindest schon mal klar, warum [mm]B[/mm] ein normierter Vektorraum
> ist.
>
> Bei 2.) zweifle ich noch, ob das so einfach geht.
wie sieht denn Deine Abschätzung für
[mm] $$|\;\;u_n(x)-u_m(x)\;\;|$$
[/mm]
aus (für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ beliebig, aber fest)?
Gruß,
Marcel
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Genau da liegt das Problem.
Also wenn man die Cauchfolgeneigenschaft in $B$ in Betracht zieht:
Für [mm] $x_0 \in [/mm] (0,1)$ beliebig, aber fest,
wählt man [mm] $\epsilon \in \IR_{+}$ [/mm] beliebig, so gilt ja da [mm] $(u_{n})$ [/mm] Cauchyfolge in $B$ für alle $n,m [mm] \ge N(\epsilon):$
[/mm]
[mm] $$sup_{0
Also auch [mm] $\frac{|u_n(x_0)-u_m(x_0)|}{sin(\pi x_0)}< \epsilon$, [/mm] d.h.
[mm] $|u_n(x_0)-u_m(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] * [mm] sin(\pi x_0)$
[/mm]
Also wird [mm] $|u_n(x_0)-u_m(x_0)|$ [/mm] beliebig klein, [mm] $u_n(x_0)$ [/mm] ist damit eine Cauchyfolge in [mm] $\IR$(vollständig), [/mm] konvergiert also gegen einen Grenzwert, den man [mm] $u(x_0)$ [/mm] nennt.
Nun weiß ich aber nicht weiter wie ich das mit den Randpunkten [mm] $x_0=0$ [/mm] oder [mm] $x_0=1$ [/mm] machen soll, denn da wird ja [mm] $sin(\pi x_0)=0$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 10.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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