Gewinn und optimales Angebot < Politik/Wirtschaft < Geisteswiss. < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Fr 29.11.2013 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Kostenfunktion
[mm] K(x)=b_{4}*x^{3}-b_{3}*x^{2}+b_{2}*x+b_{1},
[/mm]
wobei die Faktoren [mm] b_{1},...,b_{4} [/mm] konstant sind. Darüber hinaus herrscht vollkommener Wettbewerb, sodass der Preis p nicht beeinflusst werden kann.
(a) Für die gegebene Kostenfunktion sowie einem gegeben Preis p soll allgemein die kurzfristig optimale Angebotsmenge bestimmt werden.
(b) Es soll gezeigt werden, dass die optimale Angebotsmenge aus (a) dem kurzfristigen Gewinnmaximum entspricht. |
Hallo zusammen!
Die optimale Angebotsmenge ist die Menge, die den Gewinn maximiert. Demnach gehe ich wie folgt vor:
[mm] x_{1,2}=\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}\pm\wurzel{\vektor{\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}}^{2}-\bruch{1}{3}\bruch{b_{2}-p}{b_{4}}}
[/mm]
Folgende Gedankengänge liegen diesem Vorschlag zugrunde:
- Ansatz mit: G=E-K=p*x-K(x)
- Bildung der Ableitung [mm] \bruch{dG(x)}{dx}
[/mm]
- Ableitung zu Null setzen und nach x auflösen.
- Lösung der quadratischen Gleichung mittels pq-Formel
- Bildung der zweiten Ableitung (hinreichendes Kriterium), wobei ein Maximum vorliegt, sofern [mm] x>\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}} [/mm]
Nun meine Frage: Auf dem Weg zur Berechnung der optimalen Angebotsmenge habe ich ja bereits das Gewinnmaximum errechnet. Fraglich ist demnach, wie man nun zeigen soll, dass die optimale Angebotsmenge dem kurzfristigen Gewinnmaximum entspricht. Über hilfreiche Tipps würde ich mich freuen; vielen Dank!
Viele Grüße, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Fr 29.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sei die Kostenfunktion
>
> [mm]K(x)=b_{4}*x^{3}-b_{3}*x^{2}+b_{2}*x+b_{1},[/mm]
>
> wobei die Faktoren [mm]b_{1},...,b_{4}[/mm] konstant sind. Darüber
> hinaus herrscht vollkommener Wettbewerb, sodass der Preis p
> nicht beeinflusst werden kann.
>
> (a) Für die gegebene Kostenfunktion sowie einem gegeben
> Preis p soll allgemein die kurzfristig optimale
> Angebotsmenge bestimmt werden.
>
> (b) Es soll gezeigt werden, dass die optimale Angebotsmenge
> aus (a) dem kurzfristigen Gewinnmaximum entspricht.
> Hallo zusammen!
>
>
> Die optimale Angebotsmenge ist die Menge, die den Gewinn
> maximiert. Demnach gehe ich wie folgt vor:
>
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}\pm\wurzel{\vektor{\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}}^{2}-\bruch{1}{3}\bruch{b_{2}-p}{b_{4}}}[/mm]
>
>
> Folgende Gedankengänge liegen diesem Vorschlag zugrunde:
>
> - Ansatz mit: G=E-K=p*x-K(x)
>
> - Bildung der Ableitung [mm]\bruch{dG(x)}{dx}[/mm]
>
> - Ableitung zu Null setzen und nach x auflösen.
>
> - Lösung der quadratischen Gleichung mittels pq-Formel
Das ist soweit korrekt. Das geht aber nur, wenn
[mm] \left(\frac{b_{3}}{3b_{4}}\right)^{2}-\frac{b_{2}-p}{3b_{4}}>0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{b_{3}^{2}}{9b_{4}^{2}}-\frac{3b_{4}\cdot(b_{2}-p)}{9b_{4}^{2}}>0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{b_{3}^{2}-3b_{4}\cdot(b_{2}-p)}{9b_{4}^{2}}>0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow b_{3}^{2}-3b_{4}\cdot(b_{2}-p)>0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow b_{3}^{2}>3b_{4}\cdot(b_{2}-p)
[/mm]
>
> - Bildung der zweiten Ableitung (hinreichendes Kriterium),
> wobei ein Maximum vorliegt, sofern
> [mm]x>\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}[/mm]
Auch das stimmt, die Begründung ist aber ein wenig schwammig.
Die zweite Ableitung der Gewinnfunktion lautet
[mm] G'(x)=-6b_{4}x+2b_{3}
[/mm]
Nun musst du Testen, welches der beiden möglichen Extrema hier einen Wert >0 liefert.
Die Umformung von [mm] -6b_{4}x+2b_{3}>0 [/mm] auf deine Lösung verlangt eine Fallunterscheidung, da du dabei durch [mm] b_{4} [/mm] teilst, und wenn [mm] b_{4}<0 [/mm] wäre, würde sich das Relationszeichen drehen.
>
>
> Nun meine Frage: Auf dem Weg zur Berechnung der optimalen
> Angebotsmenge habe ich ja bereits das Gewinnmaximum
> errechnet. Fraglich ist demnach, wie man nun zeigen soll,
> dass die optimale Angebotsmenge dem kurzfristigen
> Gewinnmaximum entspricht. Über hilfreiche Tipps würde ich
> mich freuen; vielen Dank!
>
Vermutlich soll in Aufgabe a) der ![[]](/images/popup.gif) Cournotsche Punkt gesucht werden, was mich allerdigs stutzig macht, ist, dass dieser für einen Monopolisten gilt, hier ist aber "freier Wettbewerb" explizit gegeben.
>
> Viele Grüße, Marcel
Marius
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Hallo!
Zunächst einmal herzlichen Dank für die Antwort.
> Hallo
>
> > Gegeben sei die Kostenfunktion
> >
> > [mm]K(x)=b_{4}*x^{3}-b_{3}*x^{2}+b_{2}*x+b_{1},[/mm]
> >
> > wobei die Faktoren [mm]b_{1},...,b_{4}[/mm] konstant sind.
> Darüber
> > hinaus herrscht vollkommener Wettbewerb, sodass der
> Preis p
> > nicht beeinflusst werden kann.
> >
> > (a) Für die gegebene Kostenfunktion sowie einem
> gegeben
> > Preis p soll allgemein die kurzfristig optimale
> > Angebotsmenge bestimmt werden.
> >
> > (b) Es soll gezeigt werden, dass die optimale
> Angebotsmenge
> > aus (a) dem kurzfristigen Gewinnmaximum entspricht.
> > Hallo zusammen!
> >
> >
> > Die optimale Angebotsmenge ist die Menge, die den
> Gewinn
> > maximiert. Demnach gehe ich wie folgt vor:
> >
> >
> [mm]x_{1,2}=\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}\pm\wurzel{\vektor{\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}}^{2}-\bruch{1}{3}\bruch{b_{2}-p}{b_{4}}}[/mm]
> >
> >
> > Folgende Gedankengänge liegen diesem Vorschlag
> zugrunde:
> >
> > - Ansatz mit: G=E-K=p*x-K(x)
> >
> > - Bildung der Ableitung [mm]\bruch{dG(x)}{dx}[/mm]
> >
> > - Ableitung zu Null setzen und nach x auflösen.
> >
> > - Lösung der quadratischen Gleichung mittels pq-Formel
>
> Das ist soweit korrekt. Das geht aber nur, wenn
>
> [mm]\left(\frac{b_{3}}{3b_{4}}\right)^{2}-\frac{b_{2}-p}{3b_{4}}>0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \frac{b_{3}^{2}}{9b_{4}^{2}}-\frac{3b_{4}\cdot(b_{2}-p)}{9b_{4}^{2}}>0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{b_{3}^{2}-3b_{4}\cdot(b_{2}-p)}{9b_{4}^{2}}>0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow b_{3}^{2}-3b_{4}\cdot(b_{2}-p)>0[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow b_{3}^{2}>3b_{4}\cdot(b_{2}-p)[/mm]
>
> >
> > - Bildung der zweiten Ableitung (hinreichendes
> Kriterium),
> > wobei ein Maximum vorliegt, sofern
> > [mm]x>\bruch{1}{3}\bruch{b_{3}}{b_{4}}[/mm]
>
> Auch das stimmt, die Begründung ist aber ein wenig
> schwammig.
> Die zweite Ableitung der Gewinnfunktion lautet
> [mm]G'(x)=-6b_{4}x+2b_{3}[/mm]
>
> Nun musst du Testen, welches der beiden möglichen Extrema
> hier einen Wert >0 liefert.
> Die Umformung von [mm]-6b_{4}x+2b_{3}>0[/mm] auf deine Lösung
> verlangt eine Fallunterscheidung, da du dabei durch [mm]b_{4}[/mm]
> teilst, und wenn [mm]b_{4}<0[/mm] wäre, würde sich das
> Relationszeichen drehen.
>
>
>
>
> >
> >
> > Nun meine Frage: Auf dem Weg zur Berechnung der
> optimalen
> > Angebotsmenge habe ich ja bereits das Gewinnmaximum
> > errechnet. Fraglich ist demnach, wie man nun zeigen
> soll,
> > dass die optimale Angebotsmenge dem kurzfristigen
> > Gewinnmaximum entspricht.
Gibt es speziell zu dieser Frage noch andere Vorschläge? Möglicherweise ist damit auch nur das hinreichende Kriterium der zweiten Ableitung gemeint, denn ob wirklich ein Maximum vorliegt, geht ja aus der ersten Ableitung nicht hervor (notwendiges Kriterium).
> Über hilfreiche Tipps würde
> ich
> > mich freuen; vielen Dank!
> >
>
> Vermutlich soll in Aufgabe a) der
> Cournotsche Punkt
> gesucht werden, was mich allerdigs stutzig macht, ist, dass
> dieser für einen Monopolisten gilt, hier ist aber "freier
> Wettbewerb" explizit gegeben.
>
> >
> > Viele Grüße, Marcel
>
> Marius
Viele Grüße, Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 02.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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