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| Aufgabe | 1.Ein Unternehmen möchte einen kleineren, noch leistungsstärkeren mp3 Player herstellen. Die Unternehmensführung berät über den Produktionsumfang und den zu erwartenden Gewinn und legt in der DIskussion über die Zusammenhänge mathematische Modelle zugrunde.
Der erzielbare Marktpreis in Geldeinheiten GE ist von der Produktionsmenge x in Mengeneinheiten ME abhängig. Je weniger Einheiten produziert werden, desto höher ist der erzielbare Preis. Dabei folgt der Marktpreis der linearen Preisfunktion p:
p(x)=−3x+450
Die Gesamtkosten in GE f+r die Herstellung hängen von der produzierten Menge x in ME ab und werden durch die Kostenfunktion beschrieben:
[mm] K(x)=\bruch{1}{30}x^3−\bruch{9}{2}x^2+270x+6000
[/mm]
a) Geben Sie die Erlösfunktion E an und bestimmen Sie einen maximalen sinnvollen Definitionsbereich für E.
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Kostenfunktion keine Extremwerte besitzt und begründen Sie aus ökonomischer Sicht, warum das der Erfahrung aus der Praxis spricht.
c) Bestimmen Sie die Kostenkehre der Kostenfunktion, also den Wendepunkt der Kostenfunktion und erklären Sie seine ökonomische Bedeutung.
d) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G und berechnen Sie die Produktionsmenge x, bei der der Gewinn maximal wird.
e) Zeichnen Sie die Preisfunktion p, die Erlösfunktion E, die Kostenfunktion K und die Gewinnfunktion G in ein Koordinatensystem und erklären sie grafisch, wo der Gewinn maximal wird. |
Hallo,
ich beschäftige mich nun seit einiger zeit mit dieser Aufgabe. die Teile a- c habe ich geschaft, aber bei d komme ich auf keinen grünen Zweig.
Soviel ich im Hinterkopf habe ist eine Gewinnfunktion G:
E(x) - K (x)
dann leite ich einmal ab und komme auf, weil ja der hochpunkt gefragt ist und komme auf :
- [mm] \bruch{1}{10}x^2+9x-273
[/mm]
Aber eingesetzt in die Mitternachtsformel bekomme ich immer eine negative diskriminante.
Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir meinen Fehler zu erklären.
Vielen Dank im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Mi 24.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Deine Gewinnfunktion ist ja:
$ [mm] G(x)=-3x+450-\left(\frac{1}{30}x^3 - \bruch{9}{2}x^2+270x+6000\right) [/mm] $
$ [mm] =-\frac{1}{30}x^{3}+\frac{9}{2}x^{2}-273x-5550 [/mm] $
Also:
[mm] G'(x)=-\frac{1}{10}x^{2}+9x-273
[/mm]
Mit G'(x)=0 ergibt sich also per Mitternachtsformel:
[mm] $x_{1;2}=\frac{-9\pm\sqrt{9^{2}-4\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)\cdot(-273)}}{2\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\frac{-9\pm\sqrt{81-109,2}}{-\frac{1}{5}}$
[/mm]
[mm] $=\left(-9\pm\sqrt{-28,2}\right)\cdot(-5)$
[/mm]
Und das ist in der Tat eine negative Diskriminante.
Marius
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Hallo,
danke, dann binn ich ja garnicht daneben.
Aber dadurch lässt sich dann doch keine Angabe zur Produktionsmenge x, bei der der Gewinn maximal wird machen, oder she ich das jetzt falsch?
Eine Diskriminatnte darf nicht negativ sein, sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
Das würde dann aber doch bedeuten, dass es keinen maximalgewinn gibt?
ich bin total verwirrt
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Hallo Windbeutel,
ich glaube dass dein Fehler darin liegt, dass du die Funktion E fälschlicherweise mit der Funktion p gleichgesetz hast.
Der Erlös E ergibt sich zu
E(x)=x*p
Das hast du vergessen, und M.Rex hat es auch übersehen.
Wenn man das berücksichtigt, dann hat die Gewinnfunktion ein Maximum.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:52 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Windbeutel |
Ich habe mir sowas schon fast gedacht.
Hatte sogar schon damit "experimentiert".
Nur zur Sicherheit.
ich habe jetzt zwei Ergebnisse.
Eines fällt weg da es negativ ist
Und das ander liegt bei 54,244284.
Der gewinn wird also bei 54 Stück maximal sein.
Liege ich richtig?
Danke schon mal an alle, die sich beteiligt haben mir zu helfen
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Hallo,
> Ich habe mir sowas schon fast gedacht.
> Hatte sogar schon damit "experimentiert".
> Nur zur Sicherheit.
> ich habe jetzt zwei Ergebnisse.
> Eines fällt weg da es negativ ist
> Und das ander liegt bei 54,244284.
> Der gewinn wird also bei 54 Stück maximal sein.
> Liege ich richtig?
Wer sollte Lust haben, das nachzurechnen und worin läge der Sinn?
Poste deinen Rechenweg dazu, dann kann man das nachkontrollieren.
Aber ein "hingeschmissenes" Ergebnis mag doch niemand nachrechnen ...
>
> Danke schon mal an alle, die sich beteiligt haben mir zu
> helfen
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 11:49 Mi 24.10.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Hallo
>
> Deine Gewinnfunktion ist ja:
>
> [mm]G(x)=-3x+450-\left(\frac{1}{30}x^3 - \bruch{9}{2}x^2+270x+6000\right)[/mm]
nein: da liegt der Hase im Pfeffer. 
Der Erlös ist nicht der Preis sondern x-mal der Preis (siehe unten).
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:55 Mi 24.10.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
Hallo Ihr.
>
> > Hallo
> >
> > Deine Gewinnfunktion ist ja:
> >
> > [mm]G(x)=-3x+450-\left(\frac{1}{30}x^3 - \bruch{9}{2}x^2+270x+6000\right)[/mm]
>
> nein: da liegt der Hase im Pfeffer.
>
> Der Erlös ist nicht der Preis sondern x-mal der Preis
> (siehe unten).
Das habe ich in der Tat übersehen, danke Diophant.
>
>
> Gruß, Diophant
>
Marius
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