Gewinnmax. ohne rel. Extremum? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Ludger |
| Aufgabe | Ein Monopolist stellt Rasierapparate und -klingen zu konstanten Stückkosten von 20 € je Apparat und 10 € je Dutzend Klingen her.
Die Marktnachfrage je Jahr beträgt [mm] \frac{10^6}{p1*p2}[/mm] Rasierapparate und [mm] \frac{2*10^6}{p1*p2}[/mm] Dutzend Klingen, wenn die Preise p1 (€ je Rasierapparat) und p2 (€ je Dutzend Klingen) sind. Wie groß muß der Monopolist p1 und p2 wählen, um seinen Gesamtgewinn zu maximieren?
Lösungshinweis: p1* = 40, p2* = 20. (kein relatives Extremum)
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Hallo,
die Aufgabe habe ich auf einer Seite der Uni Frankfurt, Prof. Rommelfanger, gefunden. Passt ganz gut zu meinem derzeitigen Thema, Extremwerte ohne Nebenbedingungen bei zwei unabhängigen Variablen. Nur: Wie kommt der auf die Lösung?? Wenn ich klassisch löse (Umsatzfunktion abhängig von p1,p2 bilden -> Gewinnfunktion bilden -> ableiten -> Nullsetzen -> auflösen) komme ich zwar beim notwendigen Kriterium auf die Werte, erhalte aber kein Maximum, sondern laut hinreichender Bedingung einen Sattelpunkt. (Steht ja auch da: Kein relatives Extremum). Wenn ich mal ein paar Werte teste komme ich schon bei p1=41 und p2=19 auf einen höheren Gewinn.
Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler liegt? Oder soll der * vielleicht heißen, die beiden wären nur die Kandidaten für die gewinnmaximalen Preise?
Danke schon mal vorab, Ludger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Monopolist stellt Rasierapparate und -klingen zu
> konstanten Stückkosten von 20 € je Apparat und 10 € je
> Dutzend Klingen her.
> Die Marktnachfrage je Jahr beträgt [mm]\frac{10^6}{p1*p2}[/mm]
> Rasierapparate und [mm]\frac{2*10^6}{p1*p2}[/mm] Dutzend Klingen,
> wenn die Preise p1 (€ je Rasierapparat) und p2 (€ je
> Dutzend Klingen) sind. Wie groß muß der Monopolist p1 und
> p2 wählen, um seinen Gesamtgewinn zu maximieren?
> Lösungshinweis: p1* = 40, p2* = 20. (kein relatives
> Extremum)
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> Hallo,
>
> die Aufgabe habe ich auf einer Seite der Uni Frankfurt,
> Prof. Rommelfanger, gefunden. Passt ganz gut zu meinem
> derzeitigen Thema, Extremwerte ohne Nebenbedingungen bei
> zwei unabhängigen Variablen. Nur: Wie kommt der auf die
> Lösung?? Wenn ich klassisch löse (Umsatzfunktion
> abhängig von p1,p2 bilden -> Gewinnfunktion bilden ->
> ableiten -> Nullsetzen -> auflösen) komme ich zwar beim
> notwendigen Kriterium auf die Werte, erhalte aber kein
> Maximum, sondern laut hinreichender Bedingung einen
> Sattelpunkt. (Steht ja auch da: Kein relatives Extremum).
> Wenn ich mal ein paar Werte teste komme ich schon bei p1=41
> und p2=19 auf einen höheren Gewinn.
>
> Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler liegt? Oder soll
> der * vielleicht heißen, die beiden wären nur die
> Kandidaten für die gewinnmaximalen Preise?
Hallo,
ja, der Punkt [mm] (p_1, p_2) [/mm] ist der kritische Punkt, den man errechnet.
Bei Prüfung mit der Hessematrix ergibt sich, daß dieser Punkt ein Sattelpunkt ist, also kein Extremwert.
Rein rechnerisch kann der Monopolist seinen Gewinn bis ins Unermeßliche steigern.
Die Gewinnfunktion ist ja
[mm] G(p_1, p_2)=10^{6}(\bruch{2}{p_1}+\bruch{1}{p_2}-\bruch{40}{p_1p_2}).
[/mm]
Man sieht:
mal angenommen, man setzt den Preis für das Produkt 2 auf [mm] p_2=40 [/mm] fest,
dann erzielt man den Gewinn [mm] G(p_1, 40)=10^{6}(\bruch{1}{p_1}+\bruch{1}{40})
[/mm]
Gehe ich mit [mm] p_1 [/mm] immer weiter zurück, so geht mein Gewinn [mm] \to \infty [/mm] - die praktische Durchführbarkeit lasse ich hierbei natürlich völlig außer Acht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Do 12.11.2009 | | Autor: | Ludger |
Hallo Angela,
vielen Dank noch mal. Die "Musterlösung" hatte mich doch irritiert. Außerdem finde ich die Idee mit der Umstellung der Gewinnfunktion sehr gut, das macht es noch mal schön deutlich.
Gruß
Ludger
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