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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Gibt es ein Potential? Vektorf
Gibt es ein Potential? Vektorf < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gibt es ein Potential? Vektorf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 Do 25.06.2009
Autor: superkato

Aufgabe
Gegeben ist das Vektorfeld(Kraftfeld) F: R²->R² mit F(x,y) = (2x,2y). Gibt es ein Potential? Wenn ja, wie heißt es?

Ich kann leider mit der Frage überhaupt nichts anfangen. Kann mir jemand beim lösen helfen?

ich hab eine Formel gefunden im Papula. Diese sagt:

rot [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0} [/mm] =

[mm] \bruch{ \delta Fx}{ \delta y} [/mm] = [mm] \bruch{ \delta Fy}{ \delta x} [/mm]

sprich Fx nach y abgeleitet = Fy nach x abgeleitet

(2x)'dy = 0
und
(2y)'dx = 0

also

[mm] \bruch{ \delta Fx}{ \delta y} [/mm] = [mm] \bruch{ \delta Fy}{ \delta x} [/mm] = 0

was sagt mir das ?

das heist doch das rot [mm] \overrightarrow{F} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0} [/mm] = 0 ist und somit ein Potentialfeld?

Kann man das so sagen ?

Vielen Dank schonmal.

LG Anja

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 Do 25.06.2009
Autor: SEcki


> Gegeben ist das Vektorfeld(Kraftfeld) F: R²->R² mit F(x,y)
> = (2x,2y). Gibt es ein Potential? Wenn ja, wie heißt es?
>  Ich kann leider mit der Frage überhaupt nichts anfangen.
> Kann mir jemand beim lösen helfen?

Ein Potential heißt: gibt es eine Funktion f, so dass gilt [m]gard(f)=F[/m]? Auf einem Sterngebiet ist dies äquivalent dazu, dass die Rotation des Vektorfeldes verschwindet.

SEcki

Bezug
                
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:45 Do 25.06.2009
Autor: superkato

also wenn ich von dem Vektorfeld das Potential errechne.

kommt y² raus integriert ergibt das 2y ... ?

Ich verstehe nur Bahnhof^^

LG Anja

Bezug
                        
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Do 25.06.2009
Autor: SEcki


> also wenn ich von dem Vektorfeld das Potential errechne.
>  
> kommt y² raus integriert ergibt das 2y ... ?

Bitte was? Eher andersrum! Du hast folgende zwei Gleichungen: [m]\partial_x f(x,y) = 2*x[/m] und [m]\partial_y f(x,y) = 2*x[/m]. Du musst also eine Funktion f finden, die abgeleitet nach x dann [m]2*x[/m] ergibt, nach y dann [m]2*y[/m].

SEcki

Bezug
                                
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:19 Fr 26.06.2009
Autor: superkato

oops ja ich meine ich habe [mm] y^2 [/mm] herausbekommen. Integriert ergibt das natürlich 1/3 [mm] y^3 [/mm] und abgeleitet 2y.

also f= [mm] x^2+y^2 [/mm]

Aber woher weis ich denn von Anfang an ob es ein Potential gibt im Vektorfeld?

Lg Anja

Danke schonmal an deine Mühe mit mir :)



Bezug
                                        
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:55 Fr 26.06.2009
Autor: pelzig


> Aber woher weis ich denn von Anfang an ob es ein Potential
> gibt im Vektorfeld?

Wenn dar Definitionsbereich sternförmig ist, das Vektorfeld [mm] $f:\IR^n\to\IR^n$ [/mm] stetig differenzierbar und gilt [mm] $$\frac{\partial f_k}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_k}\qquad \forall 1\le j,k\le [/mm] n$$ dann gibt es ein Potential. Das ist die sog. Integrabilitätsbedingung.

Gruß, Robert

Bezug
                                                
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Fr 26.06.2009
Autor: superkato

achso ok!

also es kommt bei beiden 0 raus somit existiert ein Potential
dieses habe ich ja dann ausgerechnet und ergibt [mm] y^2 [/mm]

Danke!

Bezug
                                                        
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:35 Fr 26.06.2009
Autor: Calli

Hi,

das Potenzial soll      [mm] U=y^2 [/mm] sein ?[hot]

Dann bilde mal von diesem Potenzial den Gradienten:[mm] \vec F=\nabla U [/mm]!

Und übrigens: Wo ist hier die "Integrationskonstante" geblieben ?

Ciao Calli

Bezug
                                                                
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Fr 26.06.2009
Autor: superkato

Hmm..

also ich hab das so ausgerechnet:

F=(2x;2y)

2x nach x integriert ergibt [mm] x^2 [/mm] + f(y)

[mm] x^2+f(y) [/mm] nach y abgeleitet ergibt 0+f'(y)

das dann mit 2y gleichsetzen um f'(y) zu errechnen:
0+f'(y)=2y
f'(y)=2y

f'(y) integrieren um f(y) zu erhalten:

2y dy => [mm] y^2+C [/mm]

somit lautet das Potential [mm] 0+y^2+C [/mm]

kann es sein das, dass mein Fehler darin liegt das ich
[mm] x^2+f(y) [/mm] falsch nach y abgeleitet habe ?

muss das [mm] x^2+f'(y) [/mm] sein statt 0+f'(y)

oder was ganz anderes?

LG

Bezug
                                                                        
Bezug
Gibt es ein Potential? Vektorf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 Fr 26.06.2009
Autor: fred97

Sei P ein Potential von f

Dann : [mm] $P_x [/mm] = 2x , [mm] P_y [/mm] = 2y$

Somit: $P [mm] =x^2+g(y)$, [/mm] folglich ist $2y = [mm] P_y [/mm] = g'y)$, also $g(y) = [mm] y^2+C$ [/mm]

Fazit: $P(x,y) = [mm] x^2+y^2+C$ [/mm]

FRED

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