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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Gibt es eine Lineare Abbildung
Gibt es eine Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gibt es eine Lineare Abbildung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mo 14.02.2005
Autor: DerMathematiker

Hallo,

hier erst einmal die Aufgabe:

In V = [mm] \IR^3 [/mm] seien die Vektoren

[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\2\\-1}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{-3\\1\\-2}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{2\\0\\1}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{0\\-1\\1} [/mm]

und in W = [mm] \IR^4 [/mm] seien die Vektoren

[mm] w_1 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\0\\1}, w_2 [/mm] = [mm] \vektor{0\\2\\1\\-1}, w_3 [/mm] = [mm] \vektor{1\\0\\1\\1}, w_4 [/mm] = [mm] \vektor{1\\1\\1\\0} [/mm]

gegeben. Gibt es eine lineare Abbildung f:V [mm] \to [/mm] W mit [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] w_i \forall [/mm] i = 1,...,4? Falls ja, ist sie eindeutig bestimmt?

Lösungsvorschlag:

Also ich habe erstmal geprüft ob [mm] v_i [/mm] mit i={1,2,3,4} linear unabhängig sind und habe herausgefunden, dass gilt:

[mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + 2 [mm] v_3 [/mm] - [mm] v_4 [/mm]

Also:

[mm] \vektor{1\\2\\-1} [/mm] = [mm] \vektor{-3\\1\\-2} [/mm] + 2 [mm] \vektor{2\\0\\1} [/mm] - [mm] \vektor{0\\-1\\1} [/mm]

Somit wäre eine mögliche lineare Abbildung nicht mehr eindeutig bestimmt, da [mm] v_1 [/mm] als Linearkombination von [mm] v_2, v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] darstellbar ist und somit linear abhängig ist.

Ich habe dies auch mit all den anderen Vektoren durchgeführt und erhalte dann die linear unabhängigen Vektoren [mm] v_2, v_3 [/mm] und [mm] v_4. [/mm]

Doch wie geht es nun weiter?

Wie finde ich denn eine Abbildung, damit gilt:

1. [mm] f(\vektor{-3\\1\\-2}) \mapsto \vektor{0\\2\\1\\-1} [/mm]
2. [mm] f(\vektor{2\\0\\1}) \mapsto \vektor{1\\0\\1\\1} [/mm]
3. [mm] f(\vektor{0\\-1\\1}) \mapsto \vektor{1\\1\\1\\0} [/mm]

???

Würde gerne wissen wie ich hier weitermachen soll.

MfG Andi

        
Bezug
Gibt es eine Lineare Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Mo 14.02.2005
Autor: baskolii


> Hallo,
>  
> hier erst einmal die Aufgabe:
>  
> In V = [mm]\IR^3[/mm] seien die Vektoren
>  
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\2\\-1}, v_2[/mm] = [mm]\vektor{-3\\1\\-2}, v_3[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\0\\1}, v_4[/mm] = [mm]\vektor{0\\-1\\1} [/mm]
>  
> und in W = [mm]\IR^4[/mm] seien die Vektoren
>  
> [mm]w_1[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\0\\1}, w_2[/mm] = [mm]\vektor{0\\2\\1\\-1}, w_3[/mm]
> = [mm]\vektor{1\\0\\1\\1}, w_4[/mm] = [mm]\vektor{1\\1\\1\\0} [/mm]
>  
> gegeben. Gibt es eine lineare Abbildung f:V [mm]\to[/mm] W mit
> [mm]f(v_i)[/mm] = [mm]w_i \forall[/mm] i = 1,...,4? Falls ja, ist sie
> eindeutig bestimmt?
>  
> Lösungsvorschlag:
>  
> Also ich habe erstmal geprüft ob [mm]v_i[/mm] mit i={1,2,3,4} linear
> unabhängig sind und habe herausgefunden, dass gilt:
>  
> [mm]v_1[/mm] = [mm]v_2[/mm] + 2 [mm]v_3[/mm] - [mm]v_4 [/mm]
>  
> Also:
>  
> [mm]\vektor{1\\2\\-1}[/mm] = [mm]\vektor{-3\\1\\-2}[/mm] + 2 [mm]\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> - [mm]\vektor{0\\-1\\1} [/mm]

Die Rechnung kannst du dir in diesem Fall sparen, 4 Vektoren aus dem [mm] \IR^3 [/mm] sind immer linear abhängig, da [mm] dim\IR^3=3. [/mm]

> Somit wäre eine mögliche lineare Abbildung nicht mehr eindeutig

warum?

>Doch wie geht es nun weiter?

Da [mm] v_1=v_2+2v_3-v_4, [/mm] muss [mm] f(v_1)=f(v_2)+2f(v_3)-f(v_4)=w_2+2w_3-w_4=w_1. [/mm] Dies ist allerdings nicht der Fall, also gibt es keine solche lineare Abbildung.


mfg Verena

Bezug
                
Bezug
Gibt es eine Lineare Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Mo 14.02.2005
Autor: baskolii

Aber wenn du jetzt eine Aufgabe hast, in der es wirklich eine solche lineare Abbildung gibt, kannst du die Matrixdarstellung von f bezüglich [mm] (v_2,v_3,v_4) [/mm] und [mm] (w_1,w_2,w_3,w_4) [/mm] (diese sind lin. unabhängig also Basen, da [mm] dim\IR^3=3 [/mm] und [mm] dim\IR^4=4) [/mm]
Jetzt musst du nur noch die Basen in die jeweiligen kanonischen Basen transformieren und erhälst somit f in 'nicht-Matrixschreibweise'.

mfg Verena

Bezug
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