Gilt hier das Wurzelgesetz? < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 17.10.2009 | | Autor: | hotsauce |
Hi Leute!
Gibts hier einen Unterschied:
[mm] \wurzel[4]{x^4}
[/mm]
[mm] (\wurzel[4]{x})^4
[/mm]
laut den wurzelgesetzen müsste doch das untere dasselbe sein wie das obere oder nicht?, denn der exponent nach der klammer wird einfach übernommen und dann sieht das doch alles gleich aus oder irre ich mich da?
folgendes gesetz mein ich:
[mm] (\wurzel[n]{3})^m=\wurzel[n]{3^m}
[/mm]
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Hallo hotsauce,
> Hi Leute!
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> Gibts hier einen Unterschied:
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> [mm]\wurzel[4]{x^4}[/mm]
>
> [mm](\wurzel[4]{x})^4[/mm]
>
> laut den wurzelgesetzen müsste doch das untere dasselbe
> sein wie das obere oder nicht?, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") denn der exponent nach der
> klammer wird einfach übernommen und dann sieht das doch
> alles gleich aus oder irre ich mich da?
>
> folgendes gesetz mein ich:
> [mm](\wurzel[n]{3})^m=\wurzel[n]{3^m}[/mm]
Ganz recht! Du kannst es dir herleiten, wenn du es in Potenzen umschreibst und dann die bekannten Potenzgesetze anwendest...
[mm] $\left[\blue{\sqrt[n]{3}}\right]^m=\left[\blue{3^{\frac{1}{n}}}\right]^m=3^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{3^m}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 17.10.2009 | | Autor: | hotsauce |
ok gut,
jetzt lautet die frage: für welche x sind diese terme definiert die ich oben genannt habe.
fürs erste gilt ja:
[mm] \wurzel[4]{x^4}=x^\bruch{4}{4}=x [/mm] d.h. Definiert ist x für alle [mm] \IR, [/mm] also |x|
beim zweiten term heißt das ergebnis jedoch nur x und hier kommt meine frage: wieso nur x, wenn die beiden terme gleichwertig sind?...
was mir eben beim wurzelgesetz aufgefallen ist, dass der exponent einfach unter die wurzel übernommen wird. beim wurzelgesetz ist doch [mm] n\not=m [/mm] und bei meiner aufgabe wäre m=n oder lieg ich da falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Sa 17.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Wurzelschreibweise ist altmodisch und eigentlich ueberholt. Besser man schreibt statt
[mm] \wurzel[n]{x}=x^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
dann sind die Wurzelgesetze allgemeingueltig und einfach die [mm] Potenzgesetze:(x^a)^b=x^{a*b}=x^{b*a}=(x^b)^a
[/mm]
jetzt ist aber [mm] x^a [/mm] fuer negative x nur definiert (innerhalb der reellen Zahlen), wenn a ne ganze Zahl ist. d.h. fur x<0 ist [mm] x^{1/4} [/mm] nicht definiert.
und eine nicht definierte Zahl kann man auch nicht in die 4.te Potenz erheben.
in diesem Sinne ist [mm] (x^{1/4})^4 [/mm] nicht definiert.
dagegen ist [mm] (x^4)^{1/4} [/mm] definiert, weil [mm] x>4\ge0 [/mm] ist unabhaengig von x.
Gruss leduart
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