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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 So 21.11.2010 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | | sei [mm] \Gamma=\IZ \omega_1+\IZ \omega_2 [/mm] ein gitter in [mm] \IC. [/mm] Zeige. es gibt eine nur von [mm] \omega_1 [/mm] und [mm] \omega_2 [/mm] abhängige konstante [mm] \delta>0 [/mm] mit [mm] |m\omega_1+n\omega_2|^2 \ge \delta(m^2-n^2) [/mm] wobei [mm] m,n\in\IZ [/mm] |
ich hab mir überlegt zu zeigen, dass [mm] |m\omega_1+n\omega_2| \ge \delta'|m-in| [/mm] gilt, indem ich eine funktion definiere mit:
[mm] \phi:\IZ+i\IZ\to\Gamma [/mm] ; [mm] m+in\mapsto m\omega_1+n\omega_2
[/mm]
es bliebe also noch zu zeigen, dass es ein [mm] \delta' [/mm] gibt, sodass [mm] |\phi(m-in)|\ge\delta'|m+in| [/mm] gilt. hierfür finde ich aber nicht die richtigen argumente, müsste ja evtl mit eigenschaften von [mm] \phi [/mm] zu begründen sein ... wär nett wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte (falls es so überhaupt geht)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo clee,
> sei [mm]\Gamma=\IZ \omega_1+\IZ \omega_2[/mm] ein gitter in [mm]\IC.[/mm]
> Zeige. es gibt eine nur von [mm]\omega_1[/mm] und [mm]\omega_2[/mm]
> abhängige konstante [mm]\delta>0[/mm] mit [mm]|m\omega_1+n\omega_2|^2 \ge \delta(m^2-n^2)[/mm]
> wobei [mm]m,n\in\IZ[/mm]
> ich hab mir überlegt zu zeigen, dass
> [mm]|m\omega_1+n\omega_2| \ge \delta'|m-in|[/mm] gilt, indem ich
> eine funktion definiere mit:
> [mm]\phi:\IZ+i\IZ\to\Gamma[/mm] ; [mm]m+in\mapsto m\omega_1+n\omega_2[/mm]
>
> es bliebe also noch zu zeigen, dass es ein [mm]\delta'[/mm] gibt,
> sodass [mm]|\phi(m-in)|\ge\delta'|m+in|[/mm] gilt. hierfür finde
> ich aber nicht die richtigen argumente, müsste ja evtl mit
> eigenschaften von [mm]\phi[/mm] zu begründen sein ... wär nett
> wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte (falls es
> so überhaupt geht)
Es gilt doch sogar [mm]|m\omega_1+n\omega_2|^2 \ge \delta(m^2+n^2)[/mm] (Tippfehler?).
Diese Aussage sieht man recht schnell so ein:
Betrachte die Funktion [mm] $f(m,n)=\frac{|m\omega_1+n\omega_2|^2}{m^2+n^2}$ [/mm]
bzw.
[mm] $f(x,y)=\frac{|x\omega_1+y\omega_2|^2}{x^2+y^2}=\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \omega_1+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\omega_2\right|$ [/mm] auf [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$
[/mm]
bzw.
[mm] $f(x',y')=\left|x' \omega_1+y'\omega_2\right|$ [/mm] mit [mm] $x':=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $y':=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, [/mm] also [mm] $(x',y')\in S_1=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$
[/mm]
Von dieser Funktion ist nur noch zeigen, dass sie ein positives Minimum besitzt. Dies kann man aber mit der Kompaktheit von [mm] $S_1$ [/mm] folgern...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 So 21.11.2010 | | Autor: | clee |
wie soll denn $ [mm] (x',y')\in S^1 [/mm] $ gelten?
es ist doch [mm] (x')^2+(y')^2=\bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}=\bruch{1}{x^2+y^2} [/mm] und das ist doch nicht null für [mm] (x,y)\in\IZ [/mm] beliebig.
oder was sehe ich hier falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
> wie soll denn [mm](x',y')\in S^1[/mm] gelten?
> es ist doch
> [mm](x')^2+(y')^2=\bruch{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}=\bruch{1}{x^2+y^2}[/mm]
> und das ist doch nicht null für [mm](x,y)\in\IZ[/mm] beliebig.
Stimmt, ich hatte mich verrechnet und es jetzt verbessert.
-Marc
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