Givens-Rotationen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Leute!
Leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Es sei $1 [mm] \le [/mm] k < n$ und [mm] $\theta \in \left[0,2\pi\right), [/mm] c := [mm] \cos \theta [/mm] , s := [mm] \sin \theta$ [/mm] sowie
[mm] $\mathbb{R}^{n \times n} \ni \Omega_k\left(\theta\right) [/mm] := [mm] \mathrm{Id} [/mm] + [mm] \left(c-1\right)\left(e_{k+1}e_{k+1}^T + e_ke_k^T\right) [/mm] + [mm] s\left(e_ke_{k+1}^T - e_{k+1}e_k^T\right)$
[/mm]
Sei [mm] $\mathbb{R}^{n \times n} \ni [/mm] A = [mm] \left(a_{ij}\right)$. [/mm] Welche Auswirkung hat die Multiplikation [mm] $\Omega_k\left(\theta\right)\cdot{A}$ [/mm] auf die Spalten von $A$?
Bisher habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] $\Omega_k\left(\theta\right)A [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}a_{11}&\hdotsfor{1}&a_{1n}\\ \vdots& {} & \vdots \\ a_{k-1,1} & \hdotsfor{1} & a_{k-1,n} \\ {} & \boxed{\left(a_{k,j}\cos\theta + a_{k+1,j}\sin\theta\right)_{j=1,\dotsc,n}} & {}\\ {} & \boxed{\left(-a_{k,j}\sin\theta + a_{k+1,j}\cos\theta\right)_{j=1,\dotsc,n}} & {}\\ a_{k+2,1} & \hdotsfor{1} & a_{k+2,n} \\ \vdots & {} & \vdots \\ a_{n1} & \hdotsfor{1} & a_{nn}\end{pmatrix}$
[/mm]
Ich weiß jetzt außerdem, daß eine Drehung eines kartesischen Koordinatensystems im Ursprung um den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] folgendermaßen aussieht:
$x' = [mm] x\cos\alpha [/mm] + [mm] y\sin\alpha$
[/mm]
und
$y' = [mm] -x\sin\alpha [/mm] + [mm] y\cos\alpha$
[/mm]
Das heißt die obige Multiplikation hat irgendetwas damit zu tun, weil alle Einträge der Zeilen k und k+1 so ähnlich aussehen. Man könnte sagen, die Zeile $k$ ist so etwas wie die [mm] $\textrm{''}x'-\textrm{Zeile}\textrm{''}$ [/mm] und die Zeile $k + 1$ so etwas wie die [mm] $\textrm{''}y'-\textrm{Zeile}\textrm{''}$ [/mm] von [mm] $\Omega_k\left(\theta\right)A$.
[/mm]
Trotzdem verstehe ich nicht, was nun exakt mit $A$ geschehen ist. Aber ich denke, ich bin nahe dran.  Wäre schön, wenn mir das jemand erklären könnte.
Viele Grüße
Karl
|
|
| |
|
Hallo Karl,
Eigentlich steht ja fast alles da. Wenn man in 3D sagt: "Ich drehe alle Vektoren um [mm] \alpha [/mm] " dann wird schnell klar. Da fehlt was. Man braucht noch die Ebene in der gedreht wird. Analoges passiert hier.
Fässt man die Spalten von A als Vektoren im [mm] R^n [/mm] auf dann ist das Ganze eine Drehung - wie Du schon sagtest. Und die Bezugsebene wird durch [mm] e_k [/mm] , [mm] e_{k+1} [/mm] gebildet.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Sa 19.11.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo mathemaduenn,
Also ich denke, ich hab's jetzt so ungefähr verstanden. Ich habe halt die Matrix A, und wähle mir die Einheitsvektoren bezüglich zweier Zeilen dieser Matrix als Bezugsebene aus.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
|
|
|
|
