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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 04.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine kurze Frage zur Drehmatrix [mm] Q_{ij}.
[/mm]
Sie ist ja so aufgebaut, dass sie überall Nullen hat, auf der Diagonalen stehen 1, die Elemente [mm] q_{ii} [/mm] und [mm] q_{jj} [/mm] sind c, [mm] q_{ij} [/mm] und [mm] q_{ji} [/mm] sind s.
In meinem Buch sind nun aber die [mm] Q_{ij} [/mm] immer so benannt, dass i größer ist als j, also z.B. [mm] Q_{54}.
[/mm]
Aber dann würden ja in der Matrix die Zeilen i und j vertauscht...
...weil in der Grafik der Matrix steht das i über dem j, muss also kleiner sein als j.
Was mach ich denn dann bei der Rechnung, muss ich da auch alles drehen?
Ich hoffe, ihr versteht mein Problem, ich weiß nicht, wie ich es anders beschreiben soll.
LG, Nadine
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> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine kurze Frage zur Drehmatrix [mm]Q_{ij}.[/mm]
>
> Sie ist ja so aufgebaut, dass sie überall Nullen hat, auf
> der Diagonalen stehen 1, die Elemente [mm]q_{ii}[/mm] und [mm]q_{jj}[/mm]
> sind c, [mm]q_{ij}[/mm] und [mm]q_{ji}[/mm] sind s. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Letzteres stimmt nicht ganz exakt !
> In meinem Buch sind nun aber die [mm]Q_{ij}[/mm] immer so benannt,
> dass i größer ist als j, also z.B. [mm]Q_{54}.[/mm]
>
> Aber dann würden ja in der Matrix die Zeilen i und j
> vertauscht...
Hallo Nadine,
ich glaube, dass eine Einschränkung z.B. auf den Fall i>j
gar keinen Sinn macht, denn man braucht beide Fälle.
Beachte aber, dass bei einem der Elemente [mm] q_{ij}, q_{ji}
[/mm]
ein Minuszeichen stehen muss ! Folge dabei der Definition
nach dem Buch.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 So 05.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
> ich glaube, dass eine Einschränkung z.B. auf den Fall i>j
> gar keinen Sinn macht, denn man braucht beide Fälle.
Warum brauche ich beide Fälle?
Ich will doch eine obere Dreiecksmatrix erzeugen, also muss ich doch nur Elemente unterhalb der Diagonalen eleminieren, also da, wo i>j ist, oder nicht?
Aber nochmal zurück zu meiner Frage, wenn ich denn in dem Fall bin, dass i>j, muss ich dann die Zeilen i und j in der Givensmatrix tauschen?
> Beachte aber, dass bei einem der Elemente [mm]q_{ij}, q_{ji}[/mm]
>
> ein Minuszeichen stehen muss ! Folge dabei der Definition
> nach dem Buch.
Oh ja, stimmt, das hatte ich vergessen zu erwähnen :)
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
ich verstehe einfach nicht recht, wo da überhaupt ein
Problem auftritt. Die Givensrotation [mm] G_{i,j,\theta} [/mm] ist
grundsätzlich für alle Paare (i,j) mit [mm] i\not=j [/mm] möglich.
Es gilt auch die Gleichung [mm] G_{i,j,\theta}=G_{j,i,-\theta}.
[/mm]
Möglicherweise dreht der eine Autor lieber so, der
andere lieber andersrum ...
Vielleicht gibst du ein Beispiel an, wo man sieht, was
da der Knackpunkt sein soll.
LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 So 05.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al
> Vielleicht gibst du ein Beispiel an, wo man sieht, was
> da der Knackpunkt sein soll.
Na dann versuch ich das mal.
Also die Matrix sieht ja allgemein so aus:
[mm] Q_{ij}=\pmat{ I & & & & \\ & c & & s & \\ & & I & & \\ & -s & & c & \\ & & & & I}
[/mm]
Dabei stehen c und s in Zeile i und -s und c in Zeile j, also erstmal quasi i<j.
Wie sieht diese Matrix jetzt aus, wenn bei [mm] Q_{ij} [/mm] i>j, also z.B. [mm] Q_{42}?
[/mm]
Wechseln dann die Zeilen zu [mm] Q_{ij}=\pmat{ I & & & & \\ & -s & & c & \\ & & I & & \\ & c & & s & \\ & & & & I}
[/mm]
Verstehst du jetzt, was ich meine?
LG, Nadine
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> Hallo Al
>
>
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> > Vielleicht gibst du ein Beispiel an, wo man sieht, was
> > da der Knackpunkt sein soll.
>
>
>
> Na dann versuch ich das mal.
>
> Also die Matrix sieht ja allgemein so aus:
>
> [mm]Q_{ij}=\pmat{ I & & & & \\ & c & & s & \\ & & I & & \\ & -s & & c & \\ & & & & I}[/mm]
>
> Dabei stehen c und s in Zeile i und -s und c in Zeile j,
> also erstmal quasi i<j.
>
> Wie sieht diese Matrix jetzt aus, wenn bei [mm]Q_{ij}[/mm] i>j, also
> z.B. [mm]Q_{42}?[/mm]
>
> Wechseln dann die Zeilen zu [mm]Q_{ij}=\pmat{ I & & & & \\ & -s & & c & \\ & & I & & \\ & c & & s & \\ & & & & I}[/mm]
>
> Verstehst du jetzt, was ich meine?
>
> LG, Nadine
Hallo nochmal,
In der Hauptdiagonalen bleiben die c bestehen, aber
das s und das -s vertauschen ihre Plätze, wenn man
tatsächlich auch i und j vertauscht. Das habe ich
im Prinzip auch schon in der Gleichung
$ [mm] G_{i,j,\theta}=G_{j,i,-\theta}$
[/mm]
ausgedrückt. Es ist ja [mm] cos(-\theta)=cos(\theta) [/mm] und [mm] sin(-\theta)=-sin(\theta)
[/mm]
Wenn also z.B. n=2, i=2, j=4 ist und [mm] c=cos(\theta), s=sin(\theta),
[/mm]
dann hat man:
$\ [mm] Q_{\blue{ij}}=Q_{24}=\pmat{1&0&0&0\\0&c&0&s\\0&0&1&0\\0&-s&0&c}$
[/mm]
$\ [mm] Q_{\red{ji}}=Q_{42}=\pmat{1&0&0&0\\0&c&0&-s\\0&0&1&0\\0&s&0&c}$
[/mm]
Gruß Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich muss diesen Thread doch nochmal aufrollen, ich komme immer noch nicht zurecht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Im Moment ist mein größtes Problem zu erkennen, was für ein i und was für ein j ich bei [mm] Q_{ij} [/mm] überhaupt wählen muss.
Eins meiner Bücher sagt, dass i und j angeben, dass ich in der Spalte der Matrix A nur die Zeilen i und j verändere, und zwar dass der Eintrag in der Zeile j zu 0 wird und der in Zeile i zu einem anderen Wert r.
So, da hätte ich mal ein Beispiel zu:
[mm] A=\pmat{ 5 & 7 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
Jetzt sagt das Beispiel, dass ich den Eintrag [mm] a_{42} [/mm] zu 0 machen will und dann dafür die Matrix [mm] Q_{24} [/mm] nehme.
Das heißt doch dann, dass ich in jeder Spalte von A den zweiten und den vierten Eintrag verändere, wobei dann der vierte Eintrag zu 0 wird, richtig?
Wie garantiere ich dabei, dass nicht der vierte Eintrag in der ersten Spalte zu 0 wird (falls da jetzt nicht schon eine 0 stände) sondern nur der in der zweiten Spalte?
Und noch eine Frage: Wieso könnte ich an dieser Stelle nicht mit der Matrix [mm] Q_{14} [/mm] rechnen, dann würde ich doch die Einträge in der ersten und vierten Zeile verändern und der Eintrag in der vierten Zeile müsste dann doch auch wieder 0 werden, oder? Wieso geht das schief ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG, Nadine
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> Hallo!
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> Ich muss diesen Thread doch nochmal aufrollen, ich komme
> immer noch nicht zurecht
>
> Im Moment ist mein größtes Problem zu erkennen, was für
> ein i und was für ein j ich bei [mm]Q_{ij}[/mm] überhaupt wählen
> muss.
>
> Eins meiner Bücher sagt, dass i und j angeben, dass ich in
> der Spalte der Matrix A nur die Zeilen i und j verändere,
> und zwar dass der Eintrag in der Zeile j zu 0 wird und der
> in Zeile i zu einem anderen Wert r.
>
> So, da hätte ich mal ein Beispiel zu:
>
> [mm]A=\pmat{ 5 & 7 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
> Jetzt sagt das Beispiel, dass ich den Eintrag [mm]a_{42}[/mm] zu 0
> machen will und dann dafür die Matrix [mm]Q_{24}[/mm] nehme.
>
> Das heißt doch dann, dass ich in jeder Spalte von A den
> zweiten und den vierten Eintrag verändere, wobei dann der
> vierte Eintrag zu 0 wird, richtig?
>
> Wie garantiere ich dabei, dass nicht der vierte Eintrag in
> der ersten Spalte zu 0 wird (falls da jetzt nicht schon
> eine 0 stände) sondern nur der in der zweiten Spalte?
>
> Und noch eine Frage: Wieso könnte ich an dieser Stelle
> nicht mit der Matrix [mm]Q_{14}[/mm] rechnen, dann würde ich doch
> die Einträge in der ersten und vierten Zeile verändern
> und der Eintrag in der vierten Zeile müsste dann doch auch
> wieder 0 werden, oder? Wieso geht das schief
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> LG, Nadine
Hallo Nadine,
was genau ist denn dein Ziel ? Ich vermute
mal eine QR-Zerlegung.
Bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia findest du dazu ein ganz
analoges Beispiel, wo zwei Elemente der
untersten Zeile zu Null transformiert werden.
Bei deinem Beispiel sollte eine Rotation genügen.
Wenn ich die dort beschriebene Methode
auf dein Beispiel anwende, erhalte ich:
$\ [mm] j=4\qquad i=2\qquad \rho=\sqrt{5}\qquad c=\bruch{2}{\sqrt{5}}\qquad s=\bruch{-1}{\sqrt{5}}$
[/mm]
[mm] $G_{2,4}^T=\pmat{1&0&0&0\\0&\bruch{2}{\sqrt{5}}&0&\bruch{-1}{\sqrt{5}}\\0&0&1&0\\0&\bruch{1}{\sqrt{5}}&0&\bruch{2}{\sqrt{5}}}$
[/mm]
[mm] $G_{2,4}^T*A\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1&0&0&0\\0&\bruch{2}{\sqrt{5}}&0&\bruch{-1}{\sqrt{5}}\\0&0&1&0\\0&\bruch{1}{\sqrt{5}}&0&\bruch{2}{\sqrt{5}}}*\pmat{ 5 & 7 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 }\ [/mm] =\ [mm] \pmat{ 5 & 7 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
Das Element rechts unten ist nun Null,
und im oberen [mm] 2\times{2} [/mm] - Quadrat ist
immer noch eine obere Dreiecksmatrix.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi!
> was genau ist denn dein Ziel ? Ich vermute
> mal eine QR-Zerlegung.
Ja.
> Bei Wikipedia
> findest du dazu ein ganz
> analoges Beispiel, wo zwei Elemente der
> untersten Zeile zu Null transformiert werden.
Genau dieses Beipiel hab ich mir vorher auch angesehen.
Aber auch da habe ich nicht verstanden, warum man genau die Matrizen [mm] G_{2,4} [/mm] und [mm] G_{1,4} [/mm] nimmt.
Und ich habe nicht verstanden, warum man sie transponiert, wir haben nie transponiert...
> Bei deinem Beispiel sollte eine Rotation genügen.
>
> Wenn ich die dort beschriebene Methode
> auf dein Beispiel anwende, erhalte ich:
>
> [mm]\ j=4\qquad i=2\qquad \rho=\sqrt{5}\qquad c=\bruch{2}{\sqrt{5}}\qquad s=\bruch{-1}{\sqrt{5}}[/mm]
>
> [mm]G_{2,4}^T=\pmat{1&0&0&0\\0&\bruch{2}{\sqrt{5}}&0&\bruch{-1}{\sqrt{5}}\\0&0&1&0\\0&\bruch{1}{\sqrt{5}}&0&\bruch{2}{\sqrt{5}}}[/mm]
>
> [mm]G_{2,4}^T*A\ =\ \pmat{1&0&0&0\\0&\bruch{2}{\sqrt{5}}&0&\bruch{-1}{\sqrt{5}}\\0&0&1&0\\0&\bruch{1}{\sqrt{5}}&0&\bruch{2}{\sqrt{5}}}*\pmat{ 5 & 7 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 }\ =\ \pmat{ 5 & 7 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> Das Element rechts unten ist nun Null,
> und im oberen [mm]2\times{2}[/mm] - Quadrat ist
> immer noch eine obere Dreiecksmatrix.
Ja, so sah es bei uns auch aus.
Aber ich verstehe nicht, warum ich i und j so wählen muss, wie du es getan hast.
Wie haben halt nur gesagt, dass man i und j so wählt, dass in den Zeilen i und j der Matrix A die Veränderungen auftauchen, und das als j die Zeile gewählt wird, in der die 0 auftauchen soll.
Ich verstehe nicht, warum ich dann nicht j=4 und i=1 wählen kann.
In Zeile 4 würd ich dann eine 0 erhalten und wenn ich Zeile 1 ändere, ist das doch egal, oder?
Oder haben die Indizes der Givens-Matrizen was mit der Position zu tun, an der ich die 0 schaffen will?
Ich will ja an der Stelle [mm] a_{4,2} [/mm] eine Null, wenn ich das umdrehe, hab ich genau den Indexnamen der Givensmatrix *hmm*
LG, Nadine
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Hallo Pacapear,
> > Bei Wikipedia
> > findest du dazu ein ganz
> > analoges Beispiel, wo zwei Elemente der
> > untersten Zeile zu Null transformiert werden.
>
> Genau dieses Beipiel hab ich mir vorher auch angesehen.
> Aber auch da habe ich nicht verstanden, warum man genau
> die Matrizen [mm]G_{2,4}[/mm] und [mm]G_{1,4}[/mm] nimmt.
> Und ich habe nicht verstanden, warum man sie transponiert,
> wir haben nie transponiert...
Das mit dem Transponieren ist nur eine Frage
der Bezeichnungen, die eigentlich unerheblich
ist. Du kannst ja einfach [mm] G=Q^T [/mm] bzw. [mm] Q=G^T [/mm]
setzen. Dann ist z.B. [mm] G^T_{2,4}=G_{4,2}=Q_{2,4}=Q^T_{4,2}
[/mm]
> > Bei deinem Beispiel sollte eine Rotation genügen.
> >
> > Wenn ich die dort beschriebene Methode
> > auf dein Beispiel anwende, erhalte ich:
> >
> > [mm]\ j=4\qquad i=2\qquad \rho=\sqrt{5}\qquad c=\bruch{2}{\sqrt{5}}\qquad s=\bruch{-1}{\sqrt{5}}[/mm]
> >
> >
> > [mm]G_{2,4}^T=\pmat{1&0&0&0\\0&\bruch{2}{\sqrt{5}}&0&\bruch{-1}{\sqrt{5}}\\0&0&1&0\\0&\bruch{1}{\sqrt{5}}&0&\bruch{2}{\sqrt{5}}}[/mm]
> >
> > [mm]G_{2,4}^T*A\ =\ \pmat{1&0&0&0\\0&\bruch{2}{\sqrt{5}}&0&\bruch{-1}{\sqrt{5}}\\0&0&1&0\\0&\bruch{1}{\sqrt{5}}&0&\bruch{2}{\sqrt{5}}}*\pmat{ 5 & 7 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ 0 & -1 }\ =\ \pmat{ 5 & 7 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> > Das Element rechts unten ist nun Null,
> > und im oberen [mm]2\times{2}[/mm] - Quadrat ist
> > immer noch eine obere Dreiecksmatrix.
>
> Ja, so sah es bei uns auch aus.
> Aber ich verstehe nicht, warum ich i und j so wählen
> muss, wie du es getan hast.
Die Indices die man wählen muss, sind:
i=Zeilenindex des zu annullierenden Elements
j=Spaltenindex des zu annullierenden Elements
In deinem Beispiel also i=4 und j=2.
Man hat dabei keine Wahlfreiheit !
Andernfalls zerstört man eben einzelne
der vorher mühsam geschaffenen Nullen
wieder.
> Wie haben halt nur gesagt, dass man i und j so wählt, dass
> in den Zeilen i und j der Matrix A die Veränderungen
> auftauchen, und das als j die Zeile gewählt wird, in der
> die 0 auftauchen soll.
Beachte, dass im Wikipedia-Artikel die Bezeichnungen
i und j gerade umgekehrt gehandhabt werden !
> Ich verstehe nicht, warum ich dann nicht j=4 und i=1
> wählen kann.
> In Zeile 4 würd ich dann eine 0 erhalten und wenn ich
> Zeile 1 ändere, ist das doch egal, oder?
>
> Oder haben die Indizes der Givens-Matrizen was mit der
> Position zu tun, an der ich die 0 schaffen will?
Genau. Siehe oben.
Gruß Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al-Chwarizmi.
> Das mit dem Transponieren ist nur eine Frage
> der Bezeichnungen, die eigentlich unerheblich
> ist. Du kannst ja einfach [mm]G=Q^T[/mm] bzw. [mm]Q=G^T[/mm]
> setzen. Dann ist z.B. [mm]G^T_{2,4}=G_{4,2}=Q_{2,4}=Q^T_{4,2}[/mm]
Hmm, ok.
Aber was ich dann bei dem Wiki-Artikel noch nicht verstehe:
In der Definition der Givens-Matrix heißt die Matrix [mm] G(i,k,\theta).
[/mm]
Und im Satz dadrunter steht:
"Das Produkt [mm] G^T(i,k,\theta)*x [/mm] stellt eine Drehung des Vektors x um einen Winkel [mm] \theta [/mm] in der (i,k)-Ebene dar"
Wieso verwende ich in dem Produkt nun die Transponierte Givens-Matrix und nicht die "normale" (nicht transponierte).
Das verstehe ich irgendwie immer noch nicht.
Wir haben nur gelernt, dass man die Givensmatrix so an die Matrix dranmultipliziert, wie sie in der Definition stand, nichts mit Transponieren oder so
LG, Nadine
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Hallo Nadine,
das bedeutet wohl einfach, dass ihr die
"Givens-Matrix" etwas anders definiert habt
als sie im Wiki-Artikel vorkommt, nämlich
an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Dabei
werden ja übrigens nur die Vorzeichen der
Sinuswerte bzw. der Drehwinkel umgekehrt.
An solche Dinge muss man sich wohl gewöh-
nen, etwa so wie daran, dass man in gewissen
Ländern auf der "verkehrten" Seite der Strasse
fahren muss ... 
Gruß Al
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Sa 18.07.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Al.
> das bedeutet wohl einfach, dass ihr die
> "Givens-Matrix" etwas anders definiert habt
> als sie im Wiki-Artikel vorkommt, nämlich
> an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Dabei
> werden ja übrigens nur die Vorzeichen der
> Sinuswerte bzw. der Drehwinkel umgekehrt.
Eben nicht.
Wir haben die Givensmatrix genau so definiert wie bei Wiki, -s im unteren Dreieck, +s im oberen Dreieck.
Und auch in meinen Büchern steht die Givensmatrix genauso definiert wie bei Wiki.
Aber eben auch in den Bücher wird bei Anwendung der Givensmatrix nicht mit der Transponierten gerechnet, so wie bei Wiki hab ich das sonst noch nirgends gesehen.
Irgendwie bin ich total verwirrt...
LG Nadine
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> Hallo Al.
>
> > das bedeutet wohl einfach, dass ihr die
> > "Givens-Matrix" etwas anders definiert habt
> > als sie im Wiki-Artikel vorkommt, nämlich
> > an der Hauptdiagonalen gespiegelt. Dabei
> > werden ja übrigens nur die Vorzeichen der
> > Sinuswerte bzw. der Drehwinkel umgekehrt.
>
> Eben nicht.
>
> Wir haben die Givensmatrix genau so definiert wie bei Wiki,
> -s im unteren Dreieck, +s im oberen Dreieck.
>
> Und auch in meinen Büchern steht die Givensmatrix genauso
> definiert wie bei Wiki.
>
> Aber eben auch in den Bücher wird bei Anwendung der
> Givensmatrix nicht mit der Transponierten gerechnet, so wie
> bei Wiki hab ich das sonst noch nirgends gesehen.
>
> Irgendwie bin ich total verwirrt...
>
> LG Nadine
Dann würde ich mir darüber nicht weiter den
Kopf zerbrechen. Auch die Leute, welche Wiki-
Artikel verfassen, machen hie und da Fehler.
Wenn du magst und dich der Aufwand nicht
reut, kannst du ja in Wiki den Autor kontak-
tieren bzw. eine Diskussion eröffnen.
Gruß Al
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