Gl. mit Differentialformen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Fr 29.01.2016 | | Autor: | algieba |
Hallo
Gilt für Differentialformen folgende Identität?:
[mm] $(a*d\alpha [/mm] + [mm] b*d\beta) \wedge (c*d\gamma [/mm] + [mm] d*d\delta) [/mm] = [mm] a*c*d\alpha\wedge d\gamma [/mm] + [mm] a*d*d\alpha \wedge d\delta [/mm] + [mm] b*c*d\beta\wedge d\gamma [/mm] + [mm] b*d*d\beta \wedge d\delta$
[/mm]
Das ist ganz normales ausmultiplizieren. Ist das erlaubt? Ich bekomme nämlich etwas falsches raus wenn ich das anwende.
Viele Grüße und vielen Dank
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Ja, die Gleichung stimmt. Der Fehler muß also woanders liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 08.02.2016 | | Autor: | algieba |
Hallo
Danke für deine Antwort. Ich finde meinen Fehler leider nicht, vielleicht könnt ihr mir helfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sei [mm] $\beta$ [/mm] eine konvexe Randkurve
[mm] $\Psi(s)$ [/mm] sei die Richtung der positiven Tangente an die Kurve [mm] $\beta$ [/mm] im Punkt [mm] $\beta(s)$. [/mm] Außerdem sei [mm] $\beta=\binom{\beta_1}{\beta_2}$.
[/mm]
[mm] $\phi$ [/mm] sei der Winkel der positiven Tangente mit dem nach innen zeigenden Vektor v und p der Abstand des Vektors v vom Ursprung. [mm] $\alpha$ [/mm] sei der Winkel von v mit der x-Achse
Dann gilt:
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] \phi [/mm] + [mm] \Psi(s)$ [/mm] (Das ist mir klar)
und
$p = [mm] \beta \times (\cos(\alpha), \sin(\alpha))$ [/mm] (wieso ist das so, und was bedeutet das [mm] $\times$? [/mm] Das Kreuzprodukt ist doch auf 2 Dimensionen gar nicht definiert, oder?
Daraus folgt:
[mm] $d\alpha [/mm] = [mm] d\phi [/mm] + [mm] \Psi' [/mm] ds [mm] \qquad [/mm] dp = [mm] (\beta_1' \sin(\alpha) [/mm] - [mm] \beta_2' \cos(\alpha)) [/mm] ds + [mm] (\beta_1 \cos(\alpha) [/mm] + [mm] \beta_2 \sin(\alpha)) d\alpha$
[/mm]
und damit ergibt sich
[mm] $d\alpha \wedge [/mm] dp &= [mm] d\phi [/mm] + [mm] \Psi'(s) [/mm] ds [mm] \wedge (\beta_1' \sin(\alpha) [/mm] - [mm] \beta_2' \cos(\alpha)) [/mm] ds + [mm] (\beta_1 \cos(\alpha) [/mm] + [mm] \beta_2 \sin(\alpha)) d\alpha$
[/mm]
= [mm] (\beta'_1 \sin(\alpha) [/mm] - [mm] \beta'_2 \cos(\alpha)) d\phi \wedge [/mm] ds
[mm] \quad [/mm] + [mm] (\beta_1 \cos(\alpha) [/mm] + [mm] \beta_2 \sin(\alpha)) d\phi \wedge d\alpha
[/mm]
[mm] \quad [/mm] + [mm] \Psi' (\beta_1' \sin(\alpha) [/mm] - [mm] \beta_2' \cos(\alpha)) \underbrace{ds \wedge ds}_{=0}
[/mm]
[mm] \quad [/mm] + [mm] \Psi' (\beta_1 \cos(\alpha) [/mm] + [mm] \beta_2 \sin(\alpha)) [/mm] ds [mm] \wedge d\alpha
[/mm]
Nach meinem Buch soll dort rauskommen:
[mm] $d\alpha \wedge [/mm] dp = [mm] (\beta'_1 \sin(\alpha) [/mm] - [mm] \beta'_2 \cos(\alpha)) d\phi \wedge [/mm] ds$
Das heißt ja das der zweite und der vierte Term auch null werden müssen (der dritte ist es offensichtlich). Mir ist aber nicht klar warum. Könnt ihr mir helfen?
Viele Grüße und vielen Dank
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Di 09.02.2016 | | Autor: | algieba |
> [mm]p = \beta \times (\cos(\alpha), \sin(\alpha))[/mm] (wieso ist
> das so, und was bedeutet das [mm]\times[/mm]? Das Kreuzprodukt ist
> doch auf 2 Dimensionen gar nicht definiert, oder?
Diese Frage habe ich mittlerweile gelöst:
Die Gleichung von $p$ ergibt sich durch eine Verallgemeinerung des Kreuzproduktes auf [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] in der die Vektoren als Elemente von [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] betrachtet werden ($z$-Wert = 0). Das Kreuzprodukt zeigt dann in $z$-Richtung, und bezeichnet den Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Dieser Flächeninhalt ist aber die Höhe des PG (=p) mal der Länge des Tangentenvektors (=1). Damit ergibt sich obrige Gleichung, indem wir nur den $z$-Wert nehmen.
(siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier)
>
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]d\alpha = d\phi + \Psi' ds \qquad dp = (\beta_1' \sin(\alpha) - \beta_2' \cos(\alpha)) ds + (\beta_1 \cos(\alpha) + \beta_2 \sin(\alpha)) d\alpha[/mm]
>
>
> und damit ergibt sich
>
> [mm]d\alpha \wedge dp &= d\phi + \Psi'(s) ds \wedge (\beta_1' \sin(\alpha) - \beta_2' \cos(\alpha)) ds + (\beta_1 \cos(\alpha) + \beta_2 \sin(\alpha)) d\alpha[/mm]
>
> = [mm](\beta'_1 \sin(\alpha)[/mm] - [mm]\beta'_2 \cos(\alpha)) d\phi \wedge[/mm]
> ds
> [mm]\quad[/mm] + [mm](\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha)) d\phi \wedge d\alpha[/mm]
>
> [mm]\quad[/mm] + [mm]\Psi' (\beta_1' \sin(\alpha)[/mm] - [mm]\beta_2' \cos(\alpha)) \underbrace{ds \wedge ds}_{=0}[/mm]
>
> [mm]\quad[/mm] + [mm]\Psi' (\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha))[/mm]
> ds [mm]\wedge d\alpha[/mm]
>
>
> Nach meinem Buch soll dort rauskommen:
> [mm]d\alpha \wedge dp = (\beta'_1 \sin(\alpha) - \beta'_2 \cos(\alpha)) d\phi \wedge ds[/mm]
>
> Das heißt ja das der zweite und der vierte Term auch null
> werden müssen (der dritte ist es offensichtlich). Mir ist
> aber nicht klar warum. Könnt ihr mir helfen?
>
> Viele Grüße und vielen Dank
Es bleibt also nur diese Frage. Der Term [mm] $\beta_1 \cos(\alpha) [/mm] + [mm] \beta_2 \sin(\alpha)$ [/mm] ist ja eigentlich einfach das Skalarprodukt [mm] $\beta \cdot (\cos(\alpha), \sin(\alpha))$. [/mm] Aber das wird ja nicht unbedingt null, oder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Di 09.02.2016 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo
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> Danke für deine Antwort. Ich finde meinen Fehler leider
> nicht, vielleicht könnt ihr mir helfen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Sei [mm]\beta[/mm] eine konvexe Randkurve
> [mm]\Psi(s)[/mm] sei die Richtung der positiven Tangente an die
> Kurve [mm]\beta[/mm] im Punkt [mm]\beta(s)[/mm]. Außerdem sei
> [mm]\beta=\binom{\beta_1}{\beta_2}[/mm].
> [mm]\phi[/mm] sei der Winkel der positiven Tangente mit dem nach
> innen zeigenden Vektor v und p der Abstand des Vektors v
> vom Ursprung. [mm]\alpha[/mm] sei der Winkel von v mit der x-Achse
>
> Dann gilt:
> [mm]\alpha = \phi + \Psi(s)[/mm] (Das ist mir klar)
>
> und
>
> [mm]p = \beta \times (\cos(\alpha), \sin(\alpha))[/mm] (wieso ist
> das so, und was bedeutet das [mm]\times[/mm]? Das Kreuzprodukt ist
> doch auf 2 Dimensionen gar nicht definiert, oder?
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>
> Daraus folgt:
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> [mm]d\alpha = d\phi + \Psi' ds \qquad dp = (\beta_1' \sin(\alpha) - \beta_2' \cos(\alpha)) ds + (\beta_1 \cos(\alpha) + \beta_2 \sin(\alpha)) d\alpha[/mm]
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>
> und damit ergibt sich
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> [mm]d\alpha \wedge dp &= d\phi + \Psi'(s) ds \wedge (\beta_1' \sin(\alpha) - \beta_2' \cos(\alpha)) ds + (\beta_1 \cos(\alpha) + \beta_2 \sin(\alpha)) d\alpha[/mm]
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> = [mm](\beta'_1 \sin(\alpha)[/mm] - [mm]\beta'_2 \cos(\alpha)) d\phi \wedge[/mm]
> ds
> [mm]\quad[/mm] + [mm](\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha)) d\phi \wedge d\alpha[/mm]
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> [mm]\quad[/mm] + [mm]\Psi' (\beta_1' \sin(\alpha)[/mm] - [mm]\beta_2' \cos(\alpha)) \underbrace{ds \wedge ds}_{=0}[/mm]
>
> [mm]\quad[/mm] + [mm]\Psi' (\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha))[/mm]
> ds [mm]\wedge d\alpha[/mm]
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> Nach meinem Buch soll dort rauskommen:
> [mm]d\alpha \wedge dp = (\beta'_1 \sin(\alpha) - \beta'_2 \cos(\alpha)) d\phi \wedge ds[/mm]
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> Das heißt ja das der zweite und der vierte Term auch null
> werden müssen (der dritte ist es offensichtlich). Mir ist
> aber nicht klar warum. Könnt ihr mir helfen?
"Der Term $ [mm] \beta_1 \cos(\alpha) [/mm] + [mm] \beta_2 \sin(\alpha) [/mm] $ ist ja eigentlich einfach das Skalarprodukt $ [mm] \beta \cdot (\cos(\alpha), \sin(\alpha)) [/mm] $. Aber das wird ja nicht unbedingt null, oder"
Würde voraussetzen, dass [mm] $\beta$ [/mm] und v orthogonal sind.
Man kommt aber auf das gewünscht Ergebnis, wenn man für [mm] d$\alpha$
[/mm]
[mm] d$\phi$ [/mm] + [mm] $\Psi$'ds [/mm] einsetzt und etwas Differentialformenrechnerei betreibt.
( [mm](\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha)))( d\phi \wedge[/mm] d [mm] $\alpha$) [/mm] +
( [mm]\Psi' (\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha))[/mm] )(ds [mm]\wedge d\alpha[/mm]) =
( [mm](\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha)))( d\phi \wedge[/mm] [mm] (d$\phi$ [/mm] + [mm] $\Psi'$ [/mm] ds)) +
( [mm]\Psi' (\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha))[/mm] )(ds [mm]\wedge [/mm][mm] (d$\phi$ [/mm] + [mm] $\Psi'$ [/mm] ds)) =
( [mm](\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha)))( (d\phi \wedge[/mm] [mm] d$\phi$ [/mm] ) + [mm] $\Psi'$ (d\phi \wedge$ [/mm] ds)) +
( [mm]\Psi' (\beta_1 \cos(\alpha)[/mm] + [mm]\beta_2 \sin(\alpha))[/mm] )((ds [mm]\wedge [/mm][mm] d$\phi$)+( $\Psi'$ [/mm] (ds [mm] $\wedge$ [/mm] ds)) = 0
Da
[mm] d$\phi \quad \wedge$ d$\phi$ [/mm] = 0
ds [mm] $\wedge$ [/mm] ds = 0
[mm] d$\phi \quad \wedge$ [/mm] ds = - ds [mm] \wedge$ d$\phi$
[/mm]
Rechenregeln siehe Differentialform
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> Viele Grüße und vielen Dank
Gruß
meili
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