Gleiches Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Do 26.03.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Seien $ [mm] (a_n)$ [/mm] und $ [mm] (b_n)$ [/mm] zwei reelle Folgen mit positiven Gliedern. Zeigen Sie: Strebt die Folge der Quotienten $ [mm] \bruch{a_n}{b_n}$ [/mm] gegen einen positiven Grenzwert, so besitzen die Reihen $ [mm] \sum a_n$ [/mm] und $ [mm] \sum b_n$ [/mm] dasselbe Konvergenzverhalten.
(http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe125/)
|
Hi, ich bin's mal wieder.
Also ich weiß:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=g>0.
[/mm]
Dann habe ich mir gedacht, dass so ein Grenzwert nur entstehen kann, wenn:
1. [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beide divergieren
2. [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beide konvergieren (gegen 0 ausgenommen)
3. [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beide gegen 0 konvergieren.
Jeder Mix aus diesen 3 Fällen würde zu dem Grenzwert 0 führen oder dazu, dass die Folge divergiert (kann man gerne durchprobieren). Ich hoffe auch, dass sie mit positivem Grenzwert auch wirklich g>0 und nicht [mm] g\ge0 [/mm] meinen.
Gut, wenn Fall 1 zutrifft, divergieren beide Reihen, klar.
Bei Fall 2 das gleiche.
Nur Fall 3 bereitet mir Probleme. Denn es gibt ja auch genug Reihen, die trotz Nullfolge divergieren (harmonische Reihe).
Wisst ihr, wie ich weitermachen kann? Und stimmt das bis jetzt überhaupt alles?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] zwei reelle Folgen mit positiven
> Gliedern. Zeigen Sie: Strebt die Folge der Quotienten
> [mm]\bruch{a_n}{b_n}[/mm] gegen einen positiven Grenzwert, so
> besitzen die Reihen [mm]\sum a_n[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm] dasselbe
> Konvergenzverhalten.
>
> (http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe125/)
>
>
> Hi, ich bin's mal wieder.
>
> Also ich weiß:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=g>0.[/mm]
> Dann habe ich mir gedacht, dass so ein Grenzwert nur
> entstehen kann, wenn:
> 1. [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] beide divergieren
> 2. [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] beide konvergieren (gegen 0 ausgenommen)
> 3. [mm]a_n[/mm] und [mm]b_n[/mm] beide gegen 0 konvergieren.
>
> Jeder Mix aus diesen 3 Fällen würde zu dem Grenzwert 0
> führen oder dazu, dass die Folge divergiert (kann man gerne
> durchprobieren). Ich hoffe auch, dass sie mit positivem
> Grenzwert auch wirklich g>0 und nicht [mm]g\ge0[/mm] meinen.
>
> Gut, wenn Fall 1 zutrifft, divergieren beide Reihen, klar.
> Bei Fall 2 das gleiche.
> Nur Fall 3 bereitet mir Probleme. Denn es gibt ja auch
> genug Reihen, die trotz Nullfolge divergieren (harmonische
> Reihe).
>
> Wisst ihr, wie ich weitermachen kann? Und stimmt das bis
> jetzt überhaupt alles?
oh, ich bin gerade zu faul, mir die Fälle alle nochmal anzugucken. Aber bzgl. der Aufgabe:
Sie meinen sicherlich, dass [mm] $a_n/b_n \to [/mm] g > [mm] 0\,$ [/mm] (zudem werden ja auch die [mm] $b_n$ [/mm] als positiv bezeichnet, und [mm] $a_n/b_n$ [/mm] würde für [mm] $b_n=0$ [/mm] 'nur bedingt in gewissen Fällen sinnvoll interpretierbar sein'). Und diese Eigenschaft ist auch hier die entscheidende (selbstverständlich neben der Voraussetzung, dass alle [mm] $a_n,\;b_n [/mm] > 0$ sein sollen):
Setze [mm] $\epsilon:=g/2 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$\frac{g}{2}=g-\frac{g}{2}=g-\epsilon \le a_n/b_n \le g+\epsilon=g+\frac{g}{2}=\frac{3}{2}g\,$$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ mit einem [mm] $N=N_\epsilon$, [/mm] also
[mm] $$(\star)\;\;\frac{g}{2} b_n \le a_n \le \frac{3g}{2}b_n\;\;\text{ für alle } [/mm] n [mm] \ge N\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] folgt:
Ist [mm] $\sum a_n=\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergent, so kannst Du für [mm] $\sum b_n$ [/mm] eine Majorante basteln, und ist umgekehrt [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergent, so kannst Du eine Majorante für [mm] $\sum a_n$ [/mm] basteln.
Wie das genau folgt, das kannst Du ja nun mal selbst versuchen, hinzuschreiben.
Ich mache mal den Anfang (womit es eigentlich auch schon wieder fast zu Ende ist):
[mm] '$\Rightarrow$': [/mm] Sei [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] konvergent. Dann gilt [mm] $b_n \le \frac{2a_n}{g}$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und somit:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty b_n=\sum_{n=0}^{N-1} b_n+\sum_{n=N}^\infty b_n....$$
[/mm]
Die Richtung [mm] '$\Leftarrow$' [/mm] geht dann vollkommen analog, Du musst nur die [mm] $a_n$ [/mm] mithilfe von [mm] $(\star)$ [/mm] dann nach oben abschätzen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 26.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Hilfe erstmal!
Man, wie kommt man denn auf so was... aber das habe ich mich schon oft gefragt und werde ich sicher noch oft tun.
Wie dem auch sei:
$ [mm] (\star)\;\;\frac{g}{2} b_n \le a_n \le \frac{3g}{2}b_n\;\;\text{ für alle } [/mm] n [mm] \ge [/mm] N\ $
1.
Behauptung: $ [mm] \sum a_n [/mm] $ konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \sum b_n [/mm] $ konvergent
Beweis: [mm] \sum b_n \le \bruch{2}{g}\sum a_n [/mm] (*) für alle n [mm] \ge [/mm] N
Damit wird also [mm] \sum b_n [/mm] durch die konvergente Reihe (Annahme) [mm] \bruch{2}{g}\sum a_n [/mm] majorisiert und ist auch konvergent.
2.
Behauptung: $ [mm] \sum b_n [/mm] $ konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \sum a_n [/mm] $ konvergent
Beweis: [mm] \sum a_n \le \bruch{3g}{2}\sum b_n [/mm] (*) für alle n [mm] \ge [/mm] N
Damit wird also [mm] \sum a_n [/mm] durch die konvergente Reihe (Annahme) [mm] \bruch{3g}{2}\sum b_n [/mm] majorisiert und ist auch konvergent.
Zu beiden Beweisen: Es liegen jeweils nur endlich viele Summanden außerhalb der Majorante (also für alle n<N), sodass das keine Divergenz bewirken, sondern nur eventuell den Reihenwert ändern kann.
[mm] \Rightarrow \sum a_n [/mm] konvergent [mm] \gdw \sum b_n [/mm] konvergent
Damit gilt auch [mm] \sum a_n [/mm] divergent [mm] \gdw \sum b_n [/mm] divergent.
So ok?
Danke nochmal!
Auch an dich, Somebody. ;) Werde deinen Beitrag dann einfach verstecken.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Hi!
>
> Danke für die Hilfe erstmal!
> Man, wie kommt man denn auf so was... aber das habe ich
> mich schon oft gefragt und werde ich sicher noch oft tun.
ehrlich gesagt kannte ich den Beweis aus dem Heuser, aber wie so oft: Einmal verstanden und schon hat man die Idee im Hinterkopf 
> Wie dem auch sei:
>
> [mm](\star)\;\;\frac{g}{2} b_n \le a_n \le \frac{3g}{2}b_n\;\;\text{ für alle } n \ge N\[/mm]
>
> 1.
> Behauptung: [mm]\sum a_n[/mm] konvergent [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\sum b_n[/mm]
> konvergent
> Beweis: [mm]\sum b_n \le \bruch{2}{g}\sum a_n[/mm] (*) für alle n
> [mm]\ge[/mm] N
> Damit wird also [mm]\sum b_n[/mm] durch die konvergente Reihe
> (Annahme) [mm]\bruch{2}{g}\sum a_n[/mm] majorisiert und ist auch
> konvergent.
Naja, Du meinst es wohl so:
[mm] $$\sum_{n=N}^\infty b_n \le \frac{2}{g}\sum_{n=N}^\infty a_n\,.$$
[/mm]
Das ist okay, dann benutzt Du das zusätzliche Argument, dass [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] $\sum_{n=k}^\infty a_n$ [/mm] für ein $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] (und damit auch schon für jedes $k [mm] \in \IN_0$) [/mm] konvergiert.
(Was nicht so ganz okay ist, ist, wenn Du sagst:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty b_n \le \frac{2}{g}\sum_{n=0}^\infty a_n\,.$$
[/mm]
Denn die Abschätzung [mm] $b_n \le \frac{2}{g}a_n$ [/mm] gilt ja erst für alle $n [mm] \ge [/mm] N$. Es könnte z.B. durchaus [mm] $b_0=b_1=...=b_{N-1}=100$ [/mm] und [mm] $a_0=a_1=...=a_{N-1}=0$ [/mm] gelten.
Also:
I.A. ist nicht [mm] $\frac{2}{g} \sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] eine Majorante für [mm] $\sum_{n=0}^\infty b_n=\sum b_n\,,$ [/mm]
sondern [mm] $\sum b_n$ [/mm] wird z.B. durch [mm] $\sum_{n=0}^{N-1} a_n+\frac{2}{g}\sum_{n=N}^\infty a_n$ [/mm] majorisiert.)
Ich wollte oben allerdings 'direkt' eine Majorante für [mm] $\sum b_n$ [/mm] hinschreiben:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty b_n \le \sum_{n=0}^{N-1} b_n [/mm] + [mm] \frac{3g}{2} \sum_{n=N}^\infty a_n\,,$$
[/mm]
wobei man das, wenn man es ganz sauber notieren will, es am besten mithilfe der Folge der Teilsummen so hinschreiben sollte:
Für jedes $M [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $$\sum_{n=0}^M b_n \le \sum_{n=0}^{N-1} b_n [/mm] + [mm] \frac{3g}{2} \sum_{n=N}^M a_n\,,$$
[/mm]
wobei nach Voraussetzung insbesondere [mm] $\sum_{n=N}^M a_n$ [/mm] bei $M [mm] \to \infty$ [/mm] konvergiert.
(Oder man benutzt die Abschätzung [mm] $\sum_{n=N}^M a_n\;\; \underset{\text{alle }a_n > 0}{\le}\;\; \sum_{n=0}^\infty a_n$ [/mm] oben, wobei der letzte Reihenwert nach Voraussetzung endlich ist.)
P.S.:
Im Nachhinein betrachtet kann ich Dir erklären, wieso diese Beweisidee hier naheliegt:
Sei zunächst [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig. Nach Voraussetzung gilt [mm] $\left|\frac{a_n}{b_n}-g\right| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_\epsilon$, [/mm] was hier äquivalent dazu ist, dass
[mm] $$(\star)\;\;\;g-\epsilon \le a_n/b_n \le g+\epsilon\;\;\;(n \ge N_\epsilon)\,.$$
[/mm]
Nun wäre es schön, wenn man, im Falle der Konvergenz von [mm] $\sum a_n$, [/mm] eine Majorante für [mm] $\sum b_n$ [/mm] angeben könnte und auch umgekehrt.
Und wenn Du nochmal einen Blick in [mm] $(\star)$ [/mm] wirfst, dann erkennst Du (unter Beachtung von [mm] $a_n,\; b_n [/mm] > 0$), dass man mithilfe von [mm] $(\star)$ [/mm] immer eine Majorante für [mm] $\sum a_n$ [/mm] angeben kann, wenn [mm] $\sum b_n$ [/mm] konvergiert, aber:
Wenn [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert, dann wäre es schön, wenn man in [mm] $(\star)$ [/mm] die erste Umgleichung so umformen könnte, dass diese jedenfalls [mm] $b_n \le \frac{a_n}{g-\epsilon}$ [/mm] impliziert. Und hier siehst Du nun auch:
Der ganze Beweis läßt sich vollkommen analog aufschreiben, indem man [mm] $\epsilon$ [/mm] nicht ganz so konkret wie oben (also [mm] $\epsilon=g/2 [/mm] > 0$) wählt, sondern indem man einfach sagt:
Wir wählen ein $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] g\,,$ [/mm] dann gilt...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Do 26.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Ah ja klar, habe nicht beachtet, dass es bei der Schreibweise bei n=0 los geht. Klar, majorisiert wird das erst ab dem N.
Geht es bei dieser Schreibweise wirklich immer beim Index 0 los? Oder ist das immer unterschiedlich? Also sagen manche Leute auch, dass es erst bei 1 losgeht z.B.? Oder bei der 1. Zahl, die man in die Folge einsetzen kann?
Zum Beweisansatz: Ja, ich habe mir schon gedacht, dass man bei der "Mitte" angefangen hat. Zumindest habe ich es so versucht gut nachzuvollziehen, weil das nicht so aus der Luft gegriffen erscheint.
Danke nochmal! Wieder was dazugelernt.
Kann das Studium kaum noch erwarten. :P
Dann geht das sicher noch schneller.
Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah ja klar, habe nicht beachtet, dass es bei der
> Schreibweise bei n=0 los geht. Klar, majorisiert wird das
> erst ab dem N.
>
> Geht es bei dieser Schreibweise wirklich immer beim Index 0
> los? Oder ist das immer unterschiedlich? Also sagen manche
> Leute auch, dass es erst bei 1 losgeht z.B.? Oder bei der
> 1. Zahl, die man in die Folge einsetzen kann?
im Prinzip ist das eine Vereinbarungssache. Ich selber mache es einfach so:
Wenn [mm] $\sum_{n=N}^\infty a_n$ [/mm] zugrundeliegt, dann ist klar, dass, wenn ich mir die Indizes spare, also [mm] $\sum a_n$ [/mm] schreibe, dies immer als [mm] $\sum_{n=N}^\infty a_n$ [/mm] zu lesen ist; andernfalls würde ich nochmal separat dazuschreiben, wie es dann zu lesen sei.
> Zum Beweisansatz: Ja, ich habe mir schon gedacht, dass man
> bei der "Mitte" angefangen hat. Zumindest habe ich es so
> versucht gut nachzuvollziehen, weil das nicht so aus der
> Luft gegriffen erscheint.
Naja, das ist der 'konstruktivere' Weg. Vor allem ist es sinnvoll, sich die Voraussetzung bzw. ggf. auch Charakterisierungen der Voraussetzung vorher aufzuschreiben. Und dann immer gucken: "Wo komm' ich her, wo will ich hin?"
In den Vorlesungen ist das übrigens eher meist umgekehrt, meist werden die Dinge dort einfach definiert (als hätte man eine Eingebung gehabt oder als würden die Sachen einfach so vom Himmel fallen) - natürlich auch begründet, dass das alles so mit den Voraussetzungen zusammenpasst - und dann einfach nachgewiesen, dass das alles dann so passt. Aber abgesehen davon, dass das auch der 'übersichtlichste' Weg ist (ggf. unnötige oder fehlgerichtete Überlegungen kommen so ja erst gar nicht zustande oder sollten zumindest nicht zustande kommen), ist das auch insofern sinnvoll, als dass man als interessierter Student so sicher oft auch versucht, sich das ganze auf einem anderen Wege, wo man quasi fast nur 'vorwärtsüberlegt, was man wie zu definieren hat und was hinreichend für den Beweis ist', herzuleiten; also quasi so, wie ich es oben auf Deine Nachfrage hin nochmal gemacht habe:
Erst habe ich einen quasi einwandfreien Beweis geliefert, indem ich da einfach [mm] $\epsilon=g/2$ [/mm] definiert hatte (man beachte dabei auch: wegen [mm] $g\,>0$ [/mm] ist [mm] $\,g/2 [/mm] > 0$). Danach habe ich das nochmal 'anders beleuchtet', woran erkennbar ist, dass der Beweis auch klappen würde, wenn man irgendein $0 < [mm] \epsilon [/mm] < [mm] g\,$ [/mm] wählen würde (und dass man so ein [mm] $\epsilon$ [/mm] wählen kann, ergibt sich, da wegen $g [mm] \,> [/mm] 0$ gilt [mm] $(0,\epsilon) \not=\emptyset$; [/mm] oder eben auch z.B. wegen $0 < g/2 < g$ ).
> Danke nochmal! Wieder was dazugelernt.
> Kann das Studium kaum noch erwarten. :P
> Dann geht das sicher noch schneller.
Ja, ist durchaus auch Erfahrungssache. Aber ich gebe Dir den guten Rat: Auch, wenn Du in den ersten beiden Semestern manchmal etwas 'kämpfen' musst, um mitzukommen: Lass' Dich dadurch nicht unterkriegen. Wobei ich nicht glaube, dass Du da wirklich große Schwierigkeiten bekommen wirst, denn man erkennt ja schon jetzt, dass Du gewillt bist, selbstständig zu arbeiten und Du suchst Dir sogar freiwillig Übungsaufgaben zur Bearbeitung raus (von denen Dir sicher einige später nochmal begegnen werden). Man findet nicht oft Leute, die so gewillt sind und sich schon vorher intensiver mit dem Studium befassen, also von daher mache ich mir eigentlich keine großen Sorgen, dass Du da irgendwann mal ernsthafte Schwierigkeiten bekommen könntest (wobei es sicher auch mal Aufgaben oder Dinge in der Vorlesung geben wird, die Dich an den Rande der Verzweiflung bringen könnten; aber sowas gehört ja auch irgendwie dazu).
Jedenfalls viel Spaß weiterhin und ich hoffe, dass Du auch weiterhin so am Ball bleibst 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
