Gleichgewichtspunkte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Fr 02.12.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte und untersuchen Sie das Stabilitätsverhalten:
a) [mm] \vec{x}'=\pmat{ -2 & 3 \\ -1 & 1 }\vec{x}
[/mm]
b) [mm] \vec{x}'=\pmat{ -1 & 1 \\ 4 & -3 }\vec{x}
[/mm]
c) [mm] \vec{x}'=\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 0 }\vec{x}
[/mm]
d) [mm] \vec{x}'=\pmat{ -2 & -3 \\ 3 & 2 }\vec{x}
[/mm]
e) [mm] \vec{x}'=\pmat{ -3 & 1 \\ -1 & -1 }\vec{x} [/mm] |
Hi Leute,
ich wollt mal überprüfen, ob ich a) richtig gerechnet habe:
a)
Gleichgewichtspunkt berechnen:
[mm] \pmat{ -2 & 3 \\ -1 & 1 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] ist GP
Eigenwerte: [mm] 0=\lambda^2+\lambda+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist stabil, da der Realteil der Eigenwerte < 0 ist
Ist das so korrekt?
Gruß David
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Hallo David90,
> Bestimmen Sie alle Gleichgewichtspunkte und untersuchen Sie
> das Stabilitätsverhalten:
> a) [mm]\vec{x}'=\pmat{ -2 & 3 \\ -1 & 1 }\vec{x}[/mm]
> b)
> [mm]\vec{x}'=\pmat{ -1 & 1 \\ 4 & -3 }\vec{x}[/mm]
> c)
> [mm]\vec{x}'=\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 0 }\vec{x}[/mm]
> d) [mm]\vec{x}'=\pmat{ -2 & -3 \\ 3 & 2 }\vec{x}[/mm]
>
> e) [mm]\vec{x}'=\pmat{ -3 & 1 \\ -1 & -1 }\vec{x}[/mm]
> Hi Leute,
> ich wollt mal überprüfen, ob ich a) richtig gerechnet
> habe:
> a)
> Gleichgewichtspunkt berechnen:
> [mm]\pmat{ -2 & 3 \\ -1 & 1 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> ist GP
> Eigenwerte: [mm]0=\lambda^2+\lambda+1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}=-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vektor{0 \\ 0}[/mm] ist stabil, da der Realteil
Kleine Korrektur: "asymptotisch stabil" statt "stabil".
> der Eigenwerte < 0 ist
> Ist das so korrekt?
Ja
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Sa 03.12.2011 | | Autor: | David90 |
Ok, so hab ich b gemacht:
b)
Gleichgewichtspunkt berechnen:
[mm] \pmat{ -1 & 1 \\ 4 & -3 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] ist GP
Eigenwerte: [mm] 0=\lambda^2+4\lambda-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=-2+\wurzel{5} [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-2-\wurzel{5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist asymptotisch instabil, da ein EW >0 ist
Müsste so stimmen oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok, so hab ich b gemacht:
> b)
> Gleichgewichtspunkt berechnen:
> [mm]\pmat{ -1 & 1 \\ 4 & -3 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> ist GP
> Eigenwerte: [mm]0=\lambda^2+4\lambda-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=-2+\wurzel{5}[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=-2-\wurzel{5}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vektor{0 \\ 0}[/mm] ist asymptotisch instabil, da
Hier nur "instabil".
> ein EW >0 ist
> Müsste so stimmen oder?
Stimmt auch. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 So 04.12.2011 | | Autor: | David90 |
super:) aber bei c komm ich nicht weiter :/
c)
Gleichgewichtspunkt berechnen:
[mm] \pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 0 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0} [/mm]
[mm] x_{2}^{*}=0 [/mm] das ist klar...aber was ist denn [mm] x_{1}^{*}? [/mm] Das kann doch jede Zahl sein, da 0 da steht...was ist denn jetzt der Gleichgewichtspunkt?
Gruß David
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Hallo David90,
> super:) aber bei c komm ich nicht weiter :/
> c)
> Gleichgewichtspunkt berechnen:
> [mm]\pmat{ 0 & 3 \\ 0 & 0 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> [mm]x_{2}^{*}=0[/mm] das ist klar...aber was ist denn [mm]x_{1}^{*}?[/mm] Das
> kann doch jede Zahl sein, da 0 da steht...was ist denn
> jetzt der Gleichgewichtspunkt?
Hier gibt es unendliche viele Gleichgewichtspunkte.
Insbesondere ist hier [mm]x_{1}[/mm] frei wählbar.
Daher auch die unendlich vielen Gleichgewichtspunkte.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 04.12.2011 | | Autor: | David90 |
Ok also schreib ich das so auf:
[mm] \Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{t \\ 0} [/mm] mit t [mm] \in \IR [/mm] ist GP
Und woher weiß ich ob der Punkt stabil oder instabil ist?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also schreib ich das so auf:
> [mm]\Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{t \\ 0}[/mm] mit t [mm]\in \IR[/mm] ist
> GP
> Und woher weiß ich ob der Punkt stabil oder instabil
> ist?
Das musst Du noch untersuchen.
Siehe dazu: ![[]](/images/popup.gif) Stabilitätstheorie
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 04.12.2011 | | Autor: | David90 |
Also muss man diese Lyapunov-Funktion finden oder? An der Uni hat man uns gesagt wir müssen die nicht finden, da sowas auch nicht in der Klausur rankommt xD Ich schreib einfach auf, dass mit diesen Kriterien keine Aussage über sie Stabilität möglich ist und man die Lyapunov-Funktion finden muss :D
Also gehts weiter mit d)
Gleichgewichtspunkt berechnen:
[mm] \pmat{ -2 & -3 \\ 3 & 2 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] ist einziger GP
Eigenwerte:
[mm] 0=\lambda^2+5
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=-\wurzel{5}i [/mm] und [mm] \lambda_{2}=\wurzel{5}i
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist stabil (oder asymptotisch stabil?), da der Realteil=0 und alg.VFH( [mm] \lambda_{1/2})=geom.VFH( \lambda_{1/2})
[/mm]
Korrekt?
Gruß David
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Hallo David90,
> Also muss man diese Lyapunov-Funktion finden oder? An der
> Uni hat man uns gesagt wir müssen die nicht finden, da
> sowas auch nicht in der Klausur rankommt xD Ich schreib
> einfach auf, dass mit diesen Kriterien keine Aussage über
> sie Stabilität möglich ist und man die Lyapunov-Funktion
> finden muss :D
Ich habe den Absatz "Stabilitätsanalyse linearer und nichtlinearer Systeme" gemeint.
> Also gehts weiter mit d)
>
> Gleichgewichtspunkt berechnen:
> [mm]\pmat{ -2 & -3 \\ 3 & 2 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> ist einziger GP
> Eigenwerte:
> [mm]0=\lambda^2+5[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=-\wurzel{5}i[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=\wurzel{5}i[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vektor{0 \\ 0}[/mm] ist stabil (oder asymptotisch
> stabil?), da der Realteil=0 und alg.VFH(
> [mm]\lambda_{1/2})=geom.VFH( \lambda_{1/2})[/mm]
> Korrekt?
Da hier der Realteil der Eigenwerte 0 ist, ist die
algebraische und geometrische Vielfachheit eines
jeden Eigenwertes zu untersuchen. Sind die für alle
Eigenwerte gleich, dann liegt Stabilität vor.
Das ist übrigens im Teil c) auch so zu machen.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 04.12.2011 | | Autor: | David90 |
Ok die Eigenwerte bei c) sind ja [mm] \lambda_{1/2}=0 [/mm] also ist die algebraische VFH=2
Es gilt 1 [mm] \le [/mm] g.VFH [mm] \le [/mm] a.VFH das heißt die g.VFH ist entweder 1 oder 2...wie komm ich denn nochmal auf die g.VFH.? War das nicht irgendwas mit der Dimension des Kerns? Die Dimension kennen wir ja garnicht...
und bei d) hab ichs doch richtig gemacht oder?
[mm] \lambda_{1}=-\wurzel{5}i [/mm] und [mm] \lambda_{2}=\wurzel{5}i
[/mm]
also ist der Realteil=0 und die a.VFH.=1=g.VFH. also ist der Gleichgewichtspunkt stabil oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok die Eigenwerte bei c) sind ja [mm]\lambda_{1/2}=0[/mm] also ist
> die algebraische VFH=2
> Es gilt 1 [mm]\le[/mm] g.VFH [mm]\le[/mm] a.VFH das heißt die g.VFH ist
> entweder 1 oder 2...wie komm ich denn nochmal auf die
> g.VFH.? War das nicht irgendwas mit der Dimension des
> Kerns? Die Dimension kennen wir ja garnicht...
Richtig.
Die geometrische VFH ist die Dimension des Kerns zum zugehörigen EW 0.
> und bei d) hab ichs doch richtig gemacht oder?
> [mm]\lambda_{1}=-\wurzel{5}i[/mm] und [mm]\lambda_{2}=\wurzel{5}i[/mm]
> also ist der Realteil=0 und die a.VFH.=1=g.VFH. also ist
> der Gleichgewichtspunkt stabil oder?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 So 04.12.2011 | | Autor: | David90 |
Ok also die geometrische g.VFH ist die Dimension des kerns zum Eigenwert 0...kann ich einfach schreiben es handelt sich um eine 2x2 matrix. also ist die Dimension des Kerns=die Dimesion des Bildes=2 also ist die geometrische VFH=2, weil ich weiß jetzt nicht mehr genau wie man das mit dem Eigenraum macht xD
Damit ist die a.VFH=g.VFH=2
Kann man jetzt sagen, dass der Gleichgewichtspunkt stabil ist?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also die geometrische g.VFH ist die Dimension des kerns
> zum Eigenwert 0...kann ich einfach schreiben es handelt
> sich um eine 2x2 matrix. also ist die Dimension des
> Kerns=die Dimesion des Bildes=2 also ist die geometrische
> VFH=2, weil ich weiß jetzt nicht mehr genau wie man das
> mit dem Eigenraum macht xD
> Damit ist die a.VFH=g.VFH=2
> Kann man jetzt sagen, dass der Gleichgewichtspunkt stabil
> ist?
Nein.
Die Lösungsmenege des Kerns ist doch identisch mit den Gleichgewichtspunkten.
Sie beinhaltet alle Punkte der Form [mm]t*(1|0), \ t \in \IR[/mm], ist also eindimensional.
Damit ist die Ruhelage instabil.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 04.12.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann mal noch schnell e)^^
Gleichgewichtspunkt berechnen:
[mm] \pmat{ -3 & 1 \\ -1 & -1 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] ist GP
Eigenwerte: [mm] 0=\lambda^2+4\lambda+4
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1/2}=-2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist asymptotisch stabil
Stimmt das so?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok dann mal noch schnell e)^^
> Gleichgewichtspunkt berechnen:
> [mm]\pmat{ -3 & 1 \\ -1 & -1 }\vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]x_{1}^{*}=0, x_{2}^{*}=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vec{x}^{*}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
> ist GP
> Eigenwerte: [mm]0=\lambda^2+4\lambda+4[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1/2}=-2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \vektor{0 \\ 0}[/mm]
> ist asymptotisch stabil
> Stimmt das so?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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