Gleichheit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wie kann man einsehen bzw. zeigen, dass
[mm]\frac{99}{n+99}=0,99^n[/mm]
ist? Ich hab da grad keine Idee.
Danke
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wie kann man einsehen bzw. zeigen, dass
>
> [mm]\frac{99}{n+99}=0,99^n[/mm]
>
> ist? Ich hab da grad keine Idee.
Und ich hab keine Ahnung , wie Du auf so etwas kommst
Wenn das
[mm]\frac{99}{n+99}=0,99^n[/mm]
richtig wäre für jedes n, so wäre die Folge [mm] ((n+99)*0,99^n) [/mm] konstant, was sie aber nicht ist.
FRED
>
> Danke
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
Danke erstmal!
> Und ich hab keine Ahnung , wie Du auf so etwas kommst
Hierdurch:
Betrachte 100 Kästchen und n Murmeln. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Kästchen keine Murmel enthält?
1. Ansatz
eine Murmel kommt mit Wkeit 1/100 in ein Kästchen, also mit Wkeit 0,99 nicht deshalb ist die Lösung [mm] 0,99^n
[/mm]
2. Ansatz
[mm]\frac{\vektor{0+1-1 \\ 0} \vektor{n+99-1 \\ n}}{\vektor{n+100-1 \\ n}}= \frac{(n+98)!}{n!98!}\frac{n!99!}{(n+99)!}=\frac{99}{n+99}[/mm]
zumindest auf einer Teilmenge von N schein die Gleichheit ja gegeben zu sein, wie man leicht nachrechnen kann.
welche Lösung stimmt denn nun? Irgendwie können ja nicht beide richtig sein sonst müsste dass Ergebnis ja wohl gleich sein.
Für kleine n scheint kein unterschied zu bestehen, aber warum stimmt für große n nur noch eins von beiden?
Vielen Dank für Hilfe
>
> Wenn das
>
> [mm]\frac{99}{n+99}=0,99^n[/mm]
>
> richtig wäre für jedes n, so wäre die Folge [mm]((n+99)*0,99^n)[/mm]
> konstant, was sie aber nicht ist.
>
> FRED
>
>
> >
> > Danke
> >
> > Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo vivo!
> Betrachte 100 Kästchen und n Murmeln. Wie wahrscheinlich
> ist es, dass ein Kästchen keine Murmel enthält?
>
> 1. Ansatz
>
> eine Murmel kommt mit Wkeit 1/100 in ein Kästchen, also mit
> Wkeit 0,99 nicht deshalb ist die Lösung [mm]0,99^n[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast doch [mm] $\red{n}$ [/mm] Murmeln. Damit beträgt die jeweilige Wahrscheinlichkeit [mm] $\bruch{\red{n}}{100}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:40 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
> Hallo vivo!
>
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> > Betrachte 100 Kästchen und n Murmeln. Wie wahrscheinlich
> > ist es, dass ein Kästchen keine Murmel enthält?
> >
> > 1. Ansatz
> >
> > eine Murmel kommt mit Wkeit 1/100 in ein Kästchen, also mit
> > Wkeit 0,99 nicht deshalb ist die Lösung [mm]0,99^n[/mm]
>
> Du hast doch [mm]\red{n}[/mm] Murmeln. Damit beträgt die
> jewilige Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{\red{n}}{100}[/mm] .
Hallo,
wieso dass denn? Wenn ich jetz 500 Murmeln habe, dann wäre die Wkeit ja 5 !!!!!!!!!!!
die erste Murmel fällt mit W.keit 1/100 in das erste Kästchen also mit Wkeit 0,99 in ein anderes, somit ist die Wkeit dass im ersten Kästchen keine Murmeln sind doch [mm] 0,99^n [/mm] oder???????
leider weiss ich aber immer noch nicht warum die beiden ansätze unterschiedliche ergebnisse liefern. Der zweite geht halt davon aus, dass jede Möglichkeit die es gibt die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Ist dass hier eigentlich so? Im ersten Lösungsansatz habe ich ja angenommen, dass jede Murmel mit jeweils gleicher Wkeit in ein Kästchen fällt. Aber passt dass denn überhaupt? Andererseits wäre es auch komisch zu sagen dass die Möglichkeit dass eine Kästchen alle n Murmeln enthält genauso wahrscheinlich ist, wie dass andere wo die Murmeln besser verstreut sind.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo vivo!
> >
> >
> > > Betrachte 100 Kästchen und n Murmeln. Wie wahrscheinlich
> > > ist es, dass ein Kästchen keine Murmel enthält?
ich versteh' hier - ehrlich gesagt - schon das Ausgangsproblem nicht. Wenn ich 100 leere Kästchen und [mm] $n\,$ [/mm] Kugeln habe, kann ich mir die wunderbar angucken ^^ Und weiter?
Die [mm] $n\,$ [/mm] Kugeln werden wohl auf die [mm] $100\,$ [/mm] Kästchen verteilt. Wenn $n < [mm] 100\,$ [/mm] ist, bleibt mit Sicherheit immer mindestens ein Kästchen leer. Wenn $n > [mm] 100\,$ [/mm] ist, wäre das ganze sicher interessanter... aber nur, wenn jedes Kästchen beliebig viele (oder wenigstens einige Kästchen mehr als eine) Kugel aufnehmen dürften...
Ich blick' da - wie gesagt - gar nicht durch. Kannst Du mal etwas genauer beschreiben, von welchem Problem Du ausgehst und was Du da warum rechnest?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ja genau, ein Kästchen darf auch mehr als eine Kugel aufnehmen. eigentlich geht es um diese
Aufgabe
ist dass nun so richtig wie Abakus dass geschrieben hat mit dem [mm] 0,99^n [/mm] ?
Eine Tüte kann ja jetzt auch mehr als ein Korn aufnehmen. Aber warum sind denn nicht alle möglichen Verteilungen der Körner auf die Tüten gleichwahrscheinlich und dann könnte man es so berechnen wie ich in oben geschrieben habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo vivo,
> Hallo,
>
> ja genau, ein Kästchen darf auch mehr als eine Kugel
> aufnehmen. eigentlich geht es um diese
>
> Aufgabe
>
> ist dass nun so richtig wie Abakus dass geschrieben hat mit
> dem [mm]0,99^n[/mm] ?
>
> Eine Tüte kann ja jetzt auch mehr als ein Korn aufnehmen.
> Aber warum sind denn nicht alle möglichen Verteilungen der
> Körner auf die Tüten gleichwahrscheinlich und dann könnte
> man es so berechnen wie ich in oben geschrieben habe.
Du hast mir Deine Rechnung oben nicht erklärt, daher kann ich dazu auch nichts sagen. Denn nur anhand einer Formel weiß ich nicht (jedenfalls nicht immer), woher diese stammen soll.
Ich bin da auch gerade irritiert:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tüte keinen Samen enthalte:
Ist da gemeint, dass mindestens eine Tüte leer bleibt? Dass genau eine Tüte leer bleibt? Oder, dass genau eine bestimmte Tüte leer bleibt?
Sorry, bin etwas aus diesen Schulaufgaben raus... muss mich erst mal wieder an solche Formulierungen gewöhnen ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:38 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also ich denke es ist so gemeint:
es gibt 100 tüten und n Körner
und man will die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig ausgewählte tüte kein korn enthält.
die Rechnung von abakus:
die Wkeit dass das erste Korn in die tüte fällt 1/100 also mit Wkeit 0,99 nicht, somit ist die Wkeit dass n Körner nicht in der tüte sind [mm] 0,99^n
[/mm]
meine Überlegung
[mm]\frac{\vektor{0+1-1 \\ 0}\vektor{n+99-1 \\ n}}{\vektor{n+100-1 \\ n}}[/mm]
dies sind die günstigen Fälle durch alle Möglichkeiten. Also: Die betrachtete Tüte enthält kein Korn * die Möglichkeiten die Körner auf die anderen Tüten zu verteilen und das ganze geteilt durch alle Möglichkeiten die Körner auf alle Tüten zu verteilen.
denn hat man n Kugelen und N Kästchen so gibt es
[mm]\vektor{n+N-1 \\ n}[/mm] Möglichkeiten die n Kugeln auf die N Kästchen zu verteilen, wenn auch mehr als eine Kugel in ein Kästchen fallen darf. (siehe zum Beispiel http://books.google.de/books?id=MWAeK1T44qsC&pg=PA9&lpg=PA9&dq=krengel+murmeln&source=bl&ots=wLJvThaDEq&sig=cqJmSdITJkou2j3ksDFHbTZ--NE&hl=de&ei=glwUSv35PJqN_AaPyNmfDw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1)
Diese Lösung setzt natürlich voraus, dass alle Möglichkeiten die Körner zu verteilen die gleiche Wkeit haben, sonst kann man ja nicht günstige / alle rechnen. Ist dies hier denn der Fall?
Erstaunlich ist, dass die Lösungen für kleine n extrem dicht beieinander liegen und erst für etwas größer n immer stärker voneinander abweichen.
Also mir kommt irgendwie beides gleich logisch vor. Aber es kann ja nur eine Lösung richtig sein.
Vielen Dank für weitere Hilfestellungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also ich denke es ist so gemeint:
>
> es gibt 100 tüten und n Körner
>
> und man will die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig
> ausgewählte tüte kein korn enthält.
>
> die Rechnung von abakus:
>
> die Wkeit dass das erste Korn in die tüte fällt 1/100 also
> mit Wkeit 0,99 nicht, somit ist die Wkeit dass n Körner
> nicht in der tüte sind [mm]0,99^n[/mm]
>
> meine Überlegung
>
> [mm]\frac{\vektor{0+1-1 \\ 0}\vektor{n+99-1 \\ n}}{\vektor{n+100-1 \\ n}}[/mm]
>
> dies sind die günstigen Fälle durch alle Möglichkeiten.
> Also: Die betrachtete Tüte enthält kein Korn * die
> Möglichkeiten die Körner auf die anderen Tüten zu verteilen
> und das ganze geteilt durch alle Möglichkeiten die
> Körner auf alle Tüten zu verteilen.
>
> denn hat man n Kugelen und N Kästchen so gibt es
>
> [mm]\vektor{n+N-1 \\ n}[/mm] Möglichkeiten die n Kugeln auf die N
> Kästchen zu verteilen, wenn auch mehr als eine Kugel in ein
> Kästchen fallen darf. (siehe zum Beispiel
> ![[]](/images/popup.gif) Link zu google books
>
> Diese Lösung setzt natürlich voraus, dass alle
> Möglichkeiten die Körner zu verteilen die gleiche Wkeit
> haben, sonst kann man ja nicht günstige / alle rechnen. Ist
> dies hier denn der Fall?
Ich denke schon, man nimmt ja an, dass jede Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit in ein Kästchen fällt, und nicht, dass ein Kästchen bevorzugt gehandhabt wird.
> Erstaunlich ist, dass die Lösungen für kleine n extrem
> dicht beieinander liegen und erst für etwas größer n immer
> stärker voneinander abweichen.
>
>
> Also mir kommt irgendwie beides gleich logisch vor. Aber es
> kann ja nur eine Lösung richtig sein.
In der Tat. Irgendwie komme ich gerade immer noch nicht dazu, mich wirklich da reinzudenken, aber einfach mal generell ein Tipp, den man nicht vernachlässigen sollte, und der mir in der Schule immer geholfen hat, meine Denkfehler in der Kombinatorik zu finden, wenn mir klar war, dass da etwas nicht stimmen kann:
Manchmal kann es hilfreich sein, anhand eines einfacheren Beispiels zu kontrollieren, ob die Überlegungen stimmen:
Probiere doch mal, welche Formel passt, wenn man kleine [mm] $n\,$'s [/mm] nimmt etc., also verteile vll. mal nur 4 oder 5 Körner auf 2 oder 3 Tüten...
Denn die schönst-erdachten Formeln sollten ja auch bei kleinen Zahlen gelten ;)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
danke nochmal, dass habe ich schon probiert, dass problem liegt daran, dass ich auch wenn wir beispielsweise 5 tüten und 3 Körner betrachten nicht sagen kann, ob die wkeit dass in einer zufällig ausgewählten tüte kein korn ist,
entweder
[mm] 0,99^3 [/mm] = 0,970299
oder eben wie oben berechnet
günstige / alle = [mm] \frac{99}{3+99} [/mm] = 0,97058823....
und die liegen halt wie gesagt für kleine n auch ziemlich dicht beieienander. was man auch sieht wenn man sie für reelle x statt n plottet. Erst wenn n größer wird weichen die Wkeit stärker voneinander ab.
wenn ich eine tüte betrachte und sage, dass mit 0,99 wkeit jedes einzelne korn nicht hineinfällt und die körner unabhängig sind, dann wäre die wkeit für keine korn in dieser tüte [mm] 0,99^n
[/mm]
andererseits hat doch jede nur erdenkliche möglichkeit die körner auf die tüten zu verteilen die selbe wkeit also muss doch auch günstige / alle
korrekt sein. wie gesagt für kleine n ist da auch kaum eine unterrschied.
ich kann nur vermuten dass die erste lösung von der zweiten unterscheidet weil die verschieden möglichkeiten wie die Körner verteilt sind nicht die gleichen wkeiten haben. aber andererseits kann dass doch auch nicht sein wenn man sagt 0,99 ist die wkeit dass ein korn nicht in eine tüte fällt.
ich schnalls einfach nicth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke nochmal, dass habe ich schon probiert, dass problem
> liegt daran, dass ich auch wenn wir beispielsweise 5 tüten
> und 3 Körner betrachten nicht sagen kann, ob die wkeit dass
> in einer zufällig ausgewählten tüte kein korn ist,
>
> entweder
>
> [mm]0,99^3[/mm] = 0,970299
wieso 0,99? Hier wird doch jede Tüte mit W'keit 0,2 ausgewählt? Oder hast Du Doch wieder 100 Tüten?
> oder eben wie oben berechnet
>
> günstige / alle = [mm]\frac{99}{3+99}[/mm] = 0,97058823....
>
> und die liegen halt wie gesagt für kleine n auch ziemlich
> dicht beieienander. was man auch sieht wenn man sie für
> reelle x statt n plottet. Erst wenn n größer wird weichen
> die Wkeit stärker voneinander ab.
>
> wenn ich eine tüte betrachte und sage, dass mit 0,99 wkeit
> jedes einzelne korn nicht hineinfällt und die körner
> unabhängig sind, dann wäre die wkeit für keine korn in
> dieser tüte [mm]0,99^n[/mm]
>
> andererseits hat doch jede nur erdenkliche möglichkeit die
> körner auf die tüten zu verteilen die selbe wkeit also muss
> doch auch günstige / alle
> korrekt sein. wie gesagt für kleine n ist da auch kaum eine
> unterrschied.
>
> ich kann nur vermuten dass die erste lösung von der zweiten
> unterscheidet weil die verschieden möglichkeiten wie die
> Körner verteilt sind nicht die gleichen wkeiten haben. aber
> andererseits kann dass doch auch nicht sein wenn man sagt
> 0,99 ist die wkeit dass ein korn nicht in eine tüte fällt.
>
> ich schnalls einfach nicth
Also machen wir's mal der Logik nach:
Nehmen wir 5 Tüten und 3 Körner. Nach Abakus folgt dann, wenn ich die erste Tüte festhalte, dass diese mit Wahrscheinlichkeit [mm] $0,8^3=0,512$ [/mm] nicht besetzt wird.
Wenn Du Dir das anguckst, wie das mit günstigen durch mögliche Fälle ausschaut:
Es gibt doch hier [mm] $5\,$ [/mm] Tüten, wo das erste Korn reinfallen kann, dann [mm] $5\, [/mm] $ Tüten, wo das zweite reinfallen kann und wieder [mm] $5\,$ [/mm] Tüten, wo das dritte reinfallen kann. Das macht [mm] $5^3=125\,$ [/mm] Möglichkeiten, wie die Körner fallen können.
Damit Tüte I leer bleibt:
Es gibt [mm] $4\,$ [/mm] günstige Möglichkeiten, wo das erste Korn reinfallen kann, dann wieder [mm] $4\,$, [/mm] wo das zweite reinfallen kann und wieder [mm] $4\,$ [/mm] wo das dritte reinfallen kann. Also [mm] $4^3=64$ [/mm] günstige Fälle.
Macht W'keit:
[mm] $$\frac{64}{125}=\Big(\frac{4}{5}\Big)^3=0.8^3\,.$$
[/mm]
P.S.:
Täusch' ich mich, oder ist der Irrtum, den Du hier machst, vll. der gleiche, der auch Leibniz machte bzw. damit vergleichbar? (Leibniz-Irrtum).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Do 21.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo Marcel,
so langsam komen wir dahinter, Danke!
nehmen wir mal 2 Tüten und 2 Körner:
dann gibt es 3 bzw. 4 Möglichkeiten diese zu verteilen:
1. beide in erster Tüte
2. beide in zweiter Tüte
3. [mm] Korn_1 [/mm] in erster Tüte und [mm] Korn_2 [/mm] in zweiter Tüte
4. [mm] Korn_2 [/mm] in erster Tüte und [mm] Korn_1 [/mm] in zweiter Tüte
Berechnung nach erster Variante ergibt Wkeit [mm] 0,5^2 [/mm] = 0,25 für den Fall 1. und auch für alle anderen Fälle, deshalb müssen es insgesamt vier Fälle sein, damit auch am Ende wenn man alle addiert eins herauskommt.
Berechnung nach der zweiten Variante ergibt für jeden Fall 1/3, hier sind es dann deshalb nur drei Fälle, es wird nämlich kein Unterschied zwischen Fall 3. und 4. gemacht.
In beiden Varianten hat jede mögliche Verteilung die gleiche Wkeit.
Aber ja du hast recht es ist genau dass Leibniz-Irrtum ! Ich unterschlage einen Fall und komme deshalb zu einer größeren Wkeit dafür, dass die erste Tüte leer bleibt.
Aber irgendwie könnte man doch auch so argumentieren:
wenn im Geschäft zwei Tüten stehen und ich weiß es sind zwei Körener drinn, die Tüten sind aber absolut identisch und die Körner auch, dann gibt es drei Möglichkeiten wie die beiden Körner auf die Tüten aufgeteilt seine können. Halte ich alle drei für gleichwahrscheinlich ("Anmerkung von mir: Aha da ist der knackpunkt sie sind es nicht (habs während dem schreiben selber gemerkt") dann wäre es 1/3 ....
Danke Marcel !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 20.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ja genau, ein Kästchen darf auch mehr als eine Kugel
> aufnehmen. eigentlich geht es um diese
>
> Aufgabe
>
> ist dass nun so richtig wie Abakus dass geschrieben hat mit
> dem [mm]0,99^n[/mm] ?
Hallo,
du eröffnest einen neuen Thread und beziehst dich darin auf eine Antwort von mir in einem anderen Thead. Der Rest der Community wird sicher Probleme haben, ohne Kenntnis der entsprechenden Zusammenhänge angemessen zu antworten.
Die Aufgabenstellung b) in deinem ersten Thread ist übrigens absolut sinnlos: Da es sich um ein Zufallsexperiment handelt, ist die gestellte Frage in dieser Form schlicht unbeantwortbar (Ausnahme: n=1).
Gruß Abakus
>
> Eine Tüte kann ja jetzt auch mehr als ein Korn aufnehmen.
> Aber warum sind denn nicht alle möglichen Verteilungen der
> Körner auf die Tüten gleichwahrscheinlich und dann könnte
> man es so berechnen wie ich in oben geschrieben habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mi 20.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo
also 1. wollte ich mich gar nicht auf die Aufgabe beziehen sondern dachte im ersten Momment blöder Weise ohne groß drüber nachzudenken, dass die zuerst angedachte "Gleichheit" gilt, was ja nicht der Fall ist. Auf den anderen Beiträg bin ich dann nur zu sprechen gekommen um darzulegen wie ich auf soetwas komme, weil ich danach gefragt habe.
und 2. dass ich dachte dass die die Ergebnisse gleich seien müssten (was sie natürlich nicht sind) ist einfach dass es überhaupt nicht so klar ist (mir zumindest nicht) dass die Variante "alle günstigen Fälle / alle Möglichen" nicht zum Ziel führen sollte .... dass es sich hier um ein Zufallsexperiment handelt ist mir schon klar .... eben deswegen. Wie wahrscheinlich sind denn nun einige Fälle aus vielen ... hat jede Mögliche verteilung der Körne auf die Tüten die selbe wkeit ...
eine lösung ist sicher falsch ... aber ich wüsste gerne warum ...
sorry wegen des "doppelbeitrags" dies war wie gesagt nicht geplant.
und dass war überhaupt nicht mein beitrag der (der erste) sondern der von sunny9, ich hatte dort nur eine antwort gegeben.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 20.05.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo,
für n=2 stimmt Deine Gleichung bereits nicht. 0,980198 ungleich 0,9801
Ich hatte versucht mit vollständiger Induktion einen Beweis zu erbringen und kam zu dem Widerspruch 100=99 im Schluß von n auf n+1
Freundliche Grüße
Antonio
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