Gleichheit 2er Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien f,g: [a,b] -> [mm] \IR [/mm] Riemann Integrierbare Funktionen mit:
f(x) = g(x) für alle [mm] x\in[a,b]\cap\IQ.
[/mm]
Zeige dass gilt: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm] |
Hallo.
Ich dachte man könnte aus Riemann Integrierbarkeit folgern das die Funktion stetig ist, dann könnte man Gleichheit auf ganzem Intervall folgern.
Dies ist aber leider nicht der Fall.
Könntet ihr mir vielleicht helfen, sonst fällt mir leider nichts ein.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir können o.B.d.A annehmen, dass [a,b]=[0,1] ist.
Sei nun [mm] Z_n [/mm] die äquidistante Zerlegung von [0,1] mit n+1 Teilpunkten, also
[mm] Z_n=(0,1/n,2/n,...,1)
[/mm]
Alle Teilpunkte sind rational. Ist [mm] O(f,Z_n) [/mm] die zu [mm] Z_n [/mm] geh. Obersumme (entspr. [mm] O(g,Z_n)), [/mm] so ist
[mm] O(f,Z_n)=O(g,Z_n) [/mm] für jedes n.
Jetzt n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
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Danke.
> Wir können o.B.d.A annehmen, dass [a,b]=[0,1] ist.
Kann ich auch so argumentieren oder muss ich diese Zerlegung anpassen (ich weiß ja nicht was mein a und b sind?
Den Begriff o.B.d.A habe ich leider bis heute nicht verstanden.
> Jetzt n [mm] \to \infty.
[/mm]
Würde ich dann quasi alle rationalen Zahlen aus dem Intervall "erwischen" und damit wäre gezeigt das die Obersummen gleich sind, also auch die Integrale?
Gruß
EDIT: Äh quatsch, wenn ich n gegen unendlich gehen lasse wird doch alles zwischen 0 und 1 zu 0. Hab nicht nachgedacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo helicopter,
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> > Wir können o.B.d.A annehmen, dass [a,b]=[0,1] ist.
>
> Kann ich auch so argumentieren oder muss ich diese
> Zerlegung anpassen (ich weiß ja nicht was mein a und b
> sind?
>
> Den Begriff o.B.d.A habe ich leider bis heute nicht
> verstanden.
"ohne Beschränkung der Allgemeinheit" oder auch "ohne Bedenken des Autors": Der Autor beweist einen Spezialfall und überläßt dem Leser die Verallgemeinerung. Diese ist gelegentlich aber alles andere als trivial, so auch hier.
>
> > Jetzt n [mm]\to \infty.[/mm]
> Würde ich dann quasi alle
> rationalen Zahlen aus dem Intervall "erwischen" und damit
> wäre gezeigt das die Obersummen gleich sind, also auch die
> Integrale?
Nein. Aus der Gleichheit der Funktionen an den Zerlegungspunkten folgt nicht die Gleichheit der Obersummen.
Wir wissen aber, daß es in jedem Teilintervall einer Zerlegung [mm] $Z_n$ [/mm] von $[a, b]$ mit den Zerlegungspunkten [mm] $\{a+k* (b-a)/n\mid 0\le k \le n\}$ [/mm] eine rationale Zahl [mm] $r_k$ [/mm] gibt und daß die Riemannschen Summen von $f$ und $g$ übereinstimmen. Damit stimmen auch die Integrale als Grenzwert dieser Riemannschen Summen überein.
Dabei sei $S(f, [mm] Z_n, [/mm] r) = [mm] \sum_{k=0} [/mm] ^{n-1} [mm] f(r_k) [/mm] * (b-a)/n$ die Riemannsche Summe von f und entsprechend $S(g, [mm] Z_n, [/mm] r)$ die von g.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:41 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo FRED,
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> Alle Teilpunkte sind rational. Ist [mm]O(f,Z_n)[/mm] die zu [mm]Z_n[/mm] geh.
> Obersumme (entspr. [mm]O(g,Z_n)),[/mm] so ist
>
> [mm]O(f,Z_n)=O(g,Z_n)[/mm] für jedes n.
Die Obersummen stimmen nicht notwendig überein: Beispiel: f sei die Nullfunktion; [mm] $g(1/\sqrt [/mm] 2)=1, g(x) = 0$ sonst. Dann ist $O(f, [mm] Z_n) [/mm] = 0$ aber $O(g, [mm] Z_n) [/mm] = 1/n,$ obwohl beide Funktionen auf [mm] $\IQ$ [/mm] übereinstimmen.
Gruß
Wolfgang
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