Gleichheit Linearer Hüllen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Di 08.01.2008 | | Autor: | dunkla |
| Aufgabe | Gegeben sind die folgenden Mengen ⊂ R3:
[mm] A=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} \right\}, B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 12 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \right\}.
[/mm]
Bestimmen Sie, ob die lineare Hülle von A gleich der linearen Hülle von B ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir mal bitte jemand auf die Sprünge helfen? Ich halt mich schon für unterirdisch begabt, da ich einfach keine Ahnung habe, wie ich überhaupt beginnen soll.
Ich wäre fürs Erste schon mit einer Starthilfe zufrieden, vllt schaff ich den Rest dann ja allein(verstehen ist besser als abschreiben ;) ).
mfg
dunkla
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Di 08.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Die lineare Hülle des Vektorsystems A (bzw. B) ist der von diesen drei Vektoren aufgespannte lineare Raum. Diese sind gleich, wenn jeder Vektor von B als Linearkombination der Vektoren aus A darstellbar ist, und die Dimensionen der von beiden erzeugten Räume gleich sind.
Also erstmal die Dimensionen der beiden Räume berechnen.
Falls beide gleich 3 sind, bist Du fertig.
Falls sie verschieden sind, bist Du auch fertig.
Falls beide gleich zwei sind, mußt Du noch prüfen, ob die Vektoren au B in dem Erzeugnis von A liegen.
(Der Fall, dass beide Dimensionen gleich 1 sind, kann bei den hier angegebenen Vektoren nicht auftreten!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Di 08.01.2008 | | Autor: | dunkla |
Also ich habe raus, dass beide 2-dimensional sind.
Auch lassen sich alle Vektoren aus B durch eine(bzw eigtl mehrere) Linearkombinationen der Vektoren aus A darstellen.
Heißt das jetzt, dass die linearen Hüllen von A und B gleich sind? Scheint mir fast zu einfach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 08.01.2008 | | Autor: | dunkla |
Entschuldigt für diesen Post, aber hatte bei obigem den falschen Status gewählt und vllt sieht sich dann niemand dazu aufgefordert noch ein Statement abzugeben. Wüsste gern ob meine Lösung so richtig ist.
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Hallo,
Dein Ergebnis ist richtig.
Du kannst das Ganze recht arbeitssparend berechnen, wenn Du die Vektoren als Zeilen (!) in eine Matrix einträgst, und den vollständigen Gaußalgorithmus duchfühst, also die führenden Elemente der Zeilen Einsen sind und darüber alles Nullen stehen.
Die Zeilen geben Dir dann eine Basis des aufgespannten Raumes, und Du brauchst sie nur noch vergleichen - wie gesagt, die Einsen und Nullen darüber sind wichtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Mi 09.01.2008 | | Autor: | dunkla |
Okay, vielen Dank an euch beide. So einfach und doch manchmal zu schwer...
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