Gleichheit Urbild Vereinigung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Di 18.10.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] M \to N [/mm] eine Funktion. Weiter sei [mm] B_1 , B_2 , B _3 ,... [/mm] eine Folge paarweiser disjunkter Mengen.
Zeigen Sie, dass dann
[mm] f^{-1} ( \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i )= \bigcup_{i=1}^{\infty} f^{-1} (B_i )[/mm].
Dabei sei [mm] f^{-1} (B) [/mm] das Urbild vom [mm] B \subseteq N [/mm] unter f. |
Mein Problem ist, dass ich hier keinen ordentlichen Ansatz finde.
Gezeigt werden soll doch die Gleichheit zweier Mengen, oder?
Links steht die Menge der Urbilder der Vereinigung der paarweise disjunkter [mm] B_i [/mm]
und rechts die Menge der Vereinigung der Urbilder der einzelnen [mm] B_i [/mm].
Gleichheit zeigt man doch, indem man zeigt das jede Ymenge Teilmenge der anderen ist.
Aber irgendwie hab ich das nicht hinbekommen.
Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 18.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]M \to N[/mm] eine Funktion. Weiter sei [mm]B_1 , B_2 , B _3 ,...[/mm]
> eine Folge paarweiser disjunkter Mengen.
> Zeigen Sie, dass dann
>
> [mm]f^{-1} ( \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i )= \bigcup_{i=1}^{\infty} f^{-1} (B_i )[/mm].
>
> Dabei sei [mm]f^{-1} (B)[/mm] das Urbild vom [mm]B \subseteq N[/mm] unter f.
> Mein Problem ist, dass ich hier keinen ordentlichen Ansatz
> finde.
>
> Gezeigt werden soll doch die Gleichheit zweier Mengen,
> oder?
> Links steht die Menge der Urbilder der Vereinigung der
> paarweise disjunkter [mm]B_i[/mm]
> und rechts die Menge der Vereinigung der Urbilder der
> einzelnen [mm]B_i [/mm].
> Gleichheit zeigt man doch, indem man
> zeigt das jede Ymenge Teilmenge der anderen ist.
> Aber irgendwie hab ich das nicht hinbekommen.
>
> Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich?
Wir nehmen uns mal ein x [mm] \in f^{-1} [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i [/mm] ) her. Das bedeutet:
f(x) [mm] \in \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i.
[/mm]
Das hat zur Folge: es ex. ein j [mm] \in \IN [/mm] mit: f(x) [mm] \in B_j. [/mm] somit ist x [mm] \in f^{-1}(B_j). [/mm] Damit hat man:
x [mm] \in \bigcup_{i=1}^{\infty} f^{-1} (B_i [/mm] )
Fazit: [mm] f^{-1} [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i [/mm] ) [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} f^{-1} (B_i [/mm] ).
Du umgekehrte Inklusion erledigst nun Du.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 18.10.2011 | | Autor: | ella87 |
Danke schonmal dafür!
Die andere Inklusion müsste doch fast genauso sein:
Sei [mm] x\in \bigcup_{i=n}^{\infty} f^{-1} (B_i ) [/mm], dann muss doch such hier gelten [mm] f(x) \in \bigcup_{i=n}^{\infty} B_i [/mm]
Also muss es ein [mm] j \in \IN [/mm] geben mit [mm] f(x) \in B_j [/mm], demnach ist dann [mm] x \in f^{-1} (B_j) [/mm]
Und damit ist dann auch [mm] x \in f^{-1} ( \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) [/mm], weil die [mm] B_i s[/mm] paarweise disjunkt sind und ich die Menge ja nur vergrößre.
Oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 18.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ella,
> Sei [mm]x\in \bigcup_{i=n}^{\infty} f^{-1} (B_i ) [/mm],
Der Index unten muss $i=1$ statt $i=n$ lauten, aber das ist wohl nur ein Tippfehler.
> dann muss
> doch such hier gelten [mm]f(x) \in \bigcup_{i=n}^{\infty} B_i[/mm]
Wie begründest du diesen Schritt? Was bedeutet [mm] $x\in \bigcup_{i=1}^{\infty} f^{-1} (B_i [/mm] )$? Dass [mm] $x\in f^{-1}(B_j)$ [/mm] für ein [mm] $j\in\IN$ [/mm] gilt.
> Also muss es ein [mm]j \in \IN[/mm] geben mit [mm]f(x) \in B_j [/mm], demnach
> ist dann [mm]x \in f^{-1} (B_j)[/mm]
Alles folgerichtig! Wie von mir oben erwähnt, gelangt man auf direkterem Wege zu dieser Aussage [mm] $x\in f^{-1}(B_j)$ [/mm] für ein [mm] $j\in\IN$.
[/mm]
> Und damit ist dann auch [mm]x \in f^{-1} ( \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i) [/mm],
> weil die [mm]B_i s[/mm] paarweise disjunkt sind und ich die Menge ja
> nur vergrößre.
Korrekt ist [mm] $B_j\subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} B_i$ [/mm] (das meinst du doch damit, dass du "die" Menge nur vergrößerst, oder?). Du möchtest nun offensichtlich mit [mm] $f^{-1}(B_j)\subseteq f^{-1}(\bigcup_{i=1}^{\infty} B_i)$ [/mm] argumentieren. Dazu müsstest du (wenn ihr diese Regel nicht schon in der Vorlesung hattet) den Zusammenhang beweisen, dass [mm] $f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$ [/mm] für [mm] $C\subseteq D\subseteq [/mm] N$ gilt.
Direkter kann man folgendermaßen an der Stelle [mm] $x\in f^{-1}(B_j)$ [/mm] für ein [mm] $j\in\IN$ [/mm] weitermachen:
Dies bedeutet nach Definition von [mm] f^{-1} [/mm] gerade ???, also gilt [mm] $f(x)\in\bigcup_{i=1}^\infty B_i$. [/mm] Daraus folgt wie gewünscht ???.
Die Voraussetzung aus der Aufgabenstellung, dass die [mm] $B_i$ [/mm] paarweise disjunkt sind, ist übrigens komplett überflüssig.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
