Gleichheit exponentialreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 13.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle $ k [mm] \in \IZ [/mm] $ gilt:
$ exp(k) = [mm] e^k [/mm] $ |
Hallo,
der Beweis taugt vermutlich nicht recht viel, dennoch wollte ich euch bitten ihn zu korrigieren bzw. mir einen besseren Ansatz zu liefern.
Beweis: Die Exponentialfunktion ist definiert durch:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] $ Die eulersche Zahl ist definiert als $ exp(1) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!} [/mm] $. Zu zeigen ist also, dass gilt: $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{n!} [/mm] $. Da für jedes $ k [mm] \in \IR [/mm] $ die Reihe $ exp(k) § absolut konvergent ist, sind beide Reihen absolut konvergent. Da jede absolute konvergente Reihe konvergent ist, sind beide Reihen konvergent. Da die Reihen konvergent sind, gilt: $ lim [mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] = 0 = 0 = lim [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] $.
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Demnach sind also die Grenzwert der beiden Folgen gleich. Das bedeutet ja aber noch nicht, dass auch die Reihen gleich sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 13.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Ich kann keinen Zusammenhang zwischen Aufgabe und Deinem Lösungsversuch entdecken.
Du mußt doch [mm] $\exp(k)=e^k$ [/mm] zeigen, also
[mm] $\sum_{i=0}^\infty \bruch {k^i} {i!}=\left(\sum_{i=0}^\infty \bruch 1 {i!} \right)^k$ [/mm] für [mm] $k\in\IZ$.
[/mm]
Diese furchteinflößende Formel würde ich ganz schnell wieder vergessen und [mm] $\exp(k)=e^k$ [/mm] mit Induktion nach $k$ zeigen.
Reicht das schon mal?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Mi 14.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Ich verstehe nicht ganz warum ich die Formel wieder vergessen soll, wenn ich sie doch zur Berechnung bei der Induktion brauche. Oder mache ich etwas falsch?
Mit der Induktion kann ich nur etwas beweisen, dass für höhere Werte nach einer überprüften Gleichheit passiert. In meinem Fall muss ich es aber für die ganzen Zahlen überprüfen. Wäre dann folgende Vorgehensweise richtig. Ich beweise es zuerst für alle ganzen Zahlen größer 0 und anschließend
für $ exp (-k) $ Das wären dann die negativen.
IA: für k=0 $ exp(0) = 1 = 1 = [mm] e^0 [/mm] $
IV: Es gelte "die Gleichheit" für alle k>0 und k aus den ganzen Zahlen.
IS: $ exp(k+1) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch {(k+1)^i}{i!}=...=
[/mm]
[mm] \left(\sum_{i=0}^\infty \bruch 1 {i!} \right)^{k+1} [/mm]
Ich komme allerdings nicht auf den letzten Teil. Ist das überhaupt richtig, weil ich mir schwer vorstellen kann wie man darauf kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Helbig |
Zeige zuerst [mm] $\exp [/mm] k = [mm] e^k$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] 0$. Dein Induktionsanfang war schon richtig. Beim Induktionsschritt benutzt Du die Funktionalgleichung [mm] $\exp [/mm] (x+y) = [mm] \exp [/mm] x * [mm] \exp [/mm] y$ und die Potenzformel [mm] $e^{x+y}=e^x*e^y$.
[/mm]
OK?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 15.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gut, das ist verständlich.
Jetzt muss ich es also noch für alle ganzen Zahlen kleiner als 0 zeigen.
War mein Ansatz dann richtig? Ich komme dann nämlich zu etwas falschem.
IA: $ exp(-0) = exp (0) = 1 = 1 = e^{-0) = e^{0} = 1 $
IV: Die Gleichheit gilt für alle k>0 mit k aus den ganzen Zahlen.
IS: $ k->k+1: exp(-(k+1))=exp(-k-1) = exp(-k)*exp(-1) = exp(-k)*(-e) = (IV) e^{-k}*(-e) = -e^{-k+1} = -e^{-(k-1)} $
Ich muss doch aber zeigen, dass folgt: $ e^{-(k+1)} $
Vermutlich muss ich wohl als IA setzen: $ -exp(k)=e^{-k} $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut, das ist verständlich.
>
> Jetzt muss ich es also noch für alle ganzen Zahlen kleiner
> als 0 zeigen.
>
> War mein Ansatz dann richtig? Ich komme dann nämlich zu
> etwas falschem.
> IA: [mm]exp(-0) = exp (0) = 1 = 1 = e^{-0) = e^{0} = 1[/mm]
> IV:
> Die Gleichheit gilt für alle k>0 mit k aus den ganzen
> Zahlen.
Das ist doch Quatsch ! Wenn Du voraussetzt, dass Gleichheit für alle k>0 gilt, so mußt Du doch nichts mehr zeigen !!!
I.V.: sei k [mm] \in \IN [/mm] und [mm] exp(-k)=e^{-k}
[/mm]
> IS: [mm]k->k+1: exp(-(k+1))=exp(-k-1) = exp(-k)*exp(-1) = exp(-k)*(-e) = (IV) e^{-k}*(-e)}[/mm]
Unsinn. Es ist nach IV::
$exp(-k)*exp(-1) [mm] =e^{-k}*e^{-1}$
[/mm]
Damit: $exp(-(k+1))= [mm] e^{-k-1}= e^{-(k+1)}$
[/mm]
FRED
[mm] = -e^{-k+1} = -e^{-(k-1)}[/mm]
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> Ich muss doch aber zeigen, dass folgt: [mm]e^{-(k+1)}[/mm]
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> Vermutlich muss ich wohl als IA setzen: [mm]-exp(k)=e^{-k}[/mm] ?
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