Gleichheit von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wie beweise ich die Gleicheit zweier Abbildungen
f: M [mm] \to [/mm] N P,Q [mm] \subset [/mm] M
f(P [mm] \cup [/mm] Q)= f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q)
Kann ich sagen, dass ein Bild eine Menge ist und jeweils Teilmengen beweisen, also:
f(P [mm] \cup [/mm] Q) [mm] \subset [/mm] f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q) und
f(P [mm] \cup [/mm] Q) [mm] \supset [/mm] f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q) Wenn ja, wie soll das gehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Antimon |
Hallo Alex,
Solche Aufgaben
f(P [mm] \cup [/mm] Q)= f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q)
löst man in der Regel mit Textform,
d.h. ich nehme den Anfang und forme um
f(P [mm] \cup [/mm] Q)
={x [mm] \in [/mm] Vereinigung von P und Q} Ich akzeptiere hier, dass das 'und'
={x [mm] \in [/mm] P und x [mm] \in [/mm] Q} ein 'oder' sein muss. War ein
Versehen.
={x [mm] \in [/mm] P} und {x [mm] \in [/mm] Q} Aber sonst hab ich das immer genauso
gemacht.
=f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q)
Hoffe ich konnte helfen
LG ANtimon
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Das reicht?
Außerdem muss es doch statt "und" "oder" heißen, oder? den [mm] \cup [/mm] ist ja oder. Und warum machst Du Mengenklammern {} ? Es geht doch um Abbildungen, zwar Abbildungen von Mengen, aber trotzdem. Müsste ich für gleichheit nicht eigentlich zwei Teilrichtungen zeigen, wie bei der Mengenlehre?
Wie würdest Du denn dann z.B. zeigen, dass
f(P [mm] \cap [/mm] Q) [mm] \subset [/mm] f(P) [mm] \cap [/mm] f(Q) ist....
Als Text würde ich schreiben:
Jedem x [mm] \in [/mm] P [mm] \cup [/mm] Q wird ein f(x) [mm] \in [/mm] N zugeordnet. x [mm] \in [/mm] P [mm] \cup [/mm] Q bedeutet x [mm] \in [/mm] P oder x [mm] \in [/mm] Q wird f(x) zugeordnet. Also x [mm] \in [/mm] P [mm] \to [/mm] f(x) 0der x [mm] \in [/mm] Q [mm] \to [/mm] f(x), d.h.
f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q)....das kann doch kein Beweis sein, oder?
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> Als Text würde ich schreiben:
> Jedem x [mm]\in[/mm] P [mm]\cup[/mm] Q wird ein f(x) [mm]\in[/mm] N zugeordnet. x
> [mm]\in[/mm] P [mm]\cup[/mm] Q bedeutet x [mm]\in[/mm] P oder x [mm]\in[/mm] Q wird f(x)
> zugeordnet. Also x [mm]\in[/mm] P [mm]\to[/mm] f(x) 0der x [mm]\in[/mm] Q [mm]\to[/mm] f(x),
> d.h.
> f(P) [mm]\cup[/mm] f(Q)....das kann doch kein Beweis sein, oder?
Die Idee ist völlig richtig, aufschreiben würde man es wohl etwas anders, hab' ich vor wenigen Minuten für Dich gemacht.
Gruß v.Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Antimon!
> Hallo Alex,
> Solche Aufgaben
> f(P [mm]\cup[/mm] Q)= f(P) [mm]\cup[/mm] f(Q)
> löst man in der Regel mit Textform,
> d.h. ich nehme den Anfang und forme um
> f(P [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q)
> ={x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vereinigung von P und Q}
Hier sind dir aber gleich zwei Fehler unterlaufen: erstmal bedeutet die Vereinigung "oder" (und nicht "und"), und zweitens hast du das f vergessen.
> ={x [mm]\in[/mm] P und x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q}
> ={x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
P} und {x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Q}
> =f(P) [mm]\cup[/mm] f(Q)
Und hier zauberst du das f auf einmal einfach wieder her... 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Was passiert denn hier?
Was sagst Du denn zu meiner Lösung der Aufgabe, Bastiane? Ist so eine Textform erlaubt? Mir kommt das reichlich komisch vor. Außerdem ist meine Frage, ob Abbildungen Mengen sind noch nicht beantwortet.....hiiiilfe :)
Gruß
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nicht gleich so böse!
> Was passiert denn hier?
> Was sagst Du denn zu meiner Lösung der Aufgabe, Bastiane?
> Ist so eine Textform erlaubt? Mir kommt das reichlich
> komisch vor. Außerdem ist meine Frage, ob Abbildungen
> Mengen sind noch nicht beantwortet.....hiiiilfe :)
Ich bin mir in diesem Fall nicht sicher, ob man es so lösen kann, und zu deiner Lösung kann ich leider auch nichts sagen. Aber deswegen brauchst du doch nicht direkt noch eine Frage zu stellen - die alte steht doch noch als unbeantwortet da...
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:54 So 30.10.2005 | | Autor: | Mathe_Alex |
Sorry, wenn es böse klang. Dachte der Smile zum Schluss hätte ausgedrückt, wie ich es meine. ;)
Ich bin ja schon dankbar, wenn mir jemand bei dem Problem hilft. Sollte wirklich nicht so klingen, als sei ich sauer.
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> Außerdem ist meine Frage, ob Abbildungen
> Mengen sind noch nicht beantwortet.....hiiiilfe :)
Hallo,
jetzt mal ganz langsam. Natürlich sind Abbildungen keine Mengen, sondern - Abbildungen.
Aaaaaaaaber: hinter f(P) verbirgt sich ja f(P)={ y [mm] \in [/mm] N | es gibt ein x [mm] \in [/mm] P mit f(y)=x } , also eine Menge, die Bildmenge von P unter der Abbildung f.
(Die anderen Bildmengen entsprechend, klar.)
Und deshalb ist Deine Idee
f(P $ [mm] \cup [/mm] $ Q) $ [mm] \subset [/mm] $ f(P) $ [mm] \cup [/mm] $ f(Q) und
f(P $ [mm] \cup [/mm] $ Q) $ [mm] \supset [/mm] $ f(P) $ [mm] \cup [/mm] $ f(Q)
zu zeigen, die goldrichtige.
Ich zeige Dir die erste Inklusion:
Sei y [mm] \in [/mm] f(P [mm] \cup [/mm] Q) ==> es gibt ein x [mm] \in [/mm] P [mm] \cup [/mm] Q mit y=f(x)
==>es gibt ein x [mm] \in [/mm] P oder x [mm] \in [/mm] Q mit f(x)=y
==> (es gibt ein x [mm] \in [/mm] P mit f(x)=y) oder ( es gibt ein x [mm] \in [/mm] Q mit f(x)=y)
==> y [mm] \in [/mm] f(P) oder y [mm] \in [/mm] f(Q)
==> y [mm] \in [/mm] f(P) [mm] \cup [/mm] f(Q)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 So 30.10.2005 | | Autor: | Mathe_Alex |
Ah gut danke schön :)
Wie oben schon gesagt, wollte ich nicht böse klingen.
Werde mich gleich mal an die andere Inklusion setzen.
Viele Dank
Gruß
Alex
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