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| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum und [mm] M\subset [/mm] X. Es seien [mm] \dot M [/mm] (Menge der inneren Punkte von M), [mm] \bar M [/mm] (Menge der Berührpunkte) und [mm] \partial [/mm] M (Menge der Randpunkte). Zeige:
(a) [mm]\partial M[/mm] =[mm] \bar M\backslash\dot M [/mm] |
Hallo, also für mich sind die Begriffe rund um topologische Räume noch etwas neu und auch die Aufgaben fallen mir etwas schwer. Es kommt mir hier bei der (a) ein bisschen so vor, als müsste ich eine Definition beweisen..
Kleine Bemerkung: Der Punkt über dem M sollte eigentlich ein Kringel sein, habe den aber nicht erzeugen können.
Hier ist ja die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen. Liege ich daher richtig in der Annahme, dass ich [mm] \partial M\subseteq \bar M \backslash \dot M [/mm] und [mm] \partial M\supseteq \bar M \backslash \dot M [/mm] zeigen muss?
Ich versuch mal:
[mm] "\subseteq"
[/mm]
Sei [mm] x\in[/mm] [mm]\partial M [/mm][mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x\in \bar M[/mm] und [mm]x\in\bar X\backslash M [/mm] (Nach Definition)
Angenommen x ist auch in [mm]\dot M[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert ein [mm] \epsilon>0 [/mm] mit [mm] B_{\epsilon}(x)\subset\dot M [/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]B_{\epsilon}(x)\cap\partial M [/mm][mm] =\emptyset. [/mm] Widerspruch, weil x ja in [mm]\partial M [/mm] ist.
[mm] ,,\supseteq" [/mm] hab ich noch nicht hinbekommen.
Ist das denn vom Prinzip her so zu zeigen? Das geht doch bestimmt schöner, ohne Widerspruchsbeweis!? Und wie zeige ich die Rückrichtung? Ich tu mich wirklich schwer, brauche noch viel Übung darin!
Grüße, kulli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein topologischer Raum und [mm]M\subset[/mm] X. Es seien [mm]\dot M[/mm]
> (Menge der inneren Punkte von M), [mm]\bar M[/mm] (Menge der
> Berührpunkte) und [mm]\partial[/mm] M (Menge der Randpunkte).
> Zeige:
>
> (a) [mm]\partial M[/mm] =[mm] \bar M\backslash\dot M[/mm]
> Hallo, also für
> mich sind die Begriffe rund um topologische Räume noch
> etwas neu und auch die Aufgaben fallen mir etwas schwer. Es
> kommt mir hier bei der (a) ein bisschen so vor, als müsste
> ich eine Definition beweisen..
>
> Kleine Bemerkung: Der Punkt über dem M sollte eigentlich
> ein Kringel sein, habe den aber nicht erzeugen können.
>
> Hier ist ja die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen. Liege
> ich daher richtig in der Annahme, dass ich [mm]\partial M\subseteq \bar M \backslash \dot M[/mm]
> und [mm]\partial M\supseteq \bar M \backslash \dot M[/mm] zeigen
> muss?
Ja.
>
> Ich versuch mal:
>
> [mm]"\subseteq"[/mm]
>
> Sei [mm]x\in[/mm] [mm]\partial M[/mm][mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x\in \bar M[/mm] und [mm]x\in\bar X\backslash M[/mm]
> (Nach Definition)
>
> Angenommen x ist auch in [mm]\dot M[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert
> ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit [mm]B_{\epsilon}(x)\subset\dot M[/mm]
Vorsicht ! Mit [mm] B_{\epsilon}(x) [/mm] meinst Du sicher eine Kugel um x mit Radius [mm] \epsilon. [/mm] Du denkts zu "metrisch " .
Du bist in einem allgemeinen Topologischen Raum ! Da kannst Du keine Abstände messen.
Ersezte also [mm] B_{\epsilon}(x) [/mm] durch U = Umgebung vonx.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]B_{\epsilon}(x)\cap\partial M[/mm][mm] =\emptyset.[/mm]
> Widerspruch, weil x ja in [mm]\partial M[/mm] ist.
Das hast Du, bis auf [mm] B_{\epsilon}(x), [/mm] prima gemacht.
>
> [mm],,\supseteq"[/mm] hab ich noch nicht hinbekommen.
>
> Ist das denn vom Prinzip her so zu zeigen?
Ja
> Das geht doch
> bestimmt schöner, ohne Widerspruchsbeweis!?
Dein Beweis ist doch schön.
> Und wie zeige
> ich die Rückrichtung? Ich tu mich wirklich schwer, brauche
> noch viel Übung darin!
Sei x [mm] \in \overline{M} [/mm] und x [mm] \notin M^o
[/mm]
Sei U eine Umgebung von x. Zeigen mußt Du:
1. U [mm] \cap [/mm] M [mm] \ne \emptyset
[/mm]
und
2. U [mm] \cap [/mm] (X \ M) [mm] \ne \emptyset
[/mm]
1. folgt sofort aus x [mm] \in \overline{M}
[/mm]
Für 2. nimm mal an, es sei U [mm] \cap [/mm] (X \ M)= [mm] \emptyset
[/mm]
FRED
>
> Grüße, kulli
>
>
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> > Sei X ein topologischer Raum und [mm]M\subset[/mm] X. Es seien [mm]\dot M[/mm]
> > (Menge der inneren Punkte von M), [mm]\bar M[/mm] (Menge der
> > Berührpunkte) und [mm]\partial[/mm] M (Menge der Randpunkte).
> > Zeige:
> >
> > (a) [mm]\partial M[/mm] =[mm] \bar M\backslash\dot M[/mm]
> > Hallo, also
> für
> > mich sind die Begriffe rund um topologische Räume noch
> > etwas neu und auch die Aufgaben fallen mir etwas schwer. Es
> > kommt mir hier bei der (a) ein bisschen so vor, als müsste
> > ich eine Definition beweisen..
> >
> > Kleine Bemerkung: Der Punkt über dem M sollte eigentlich
> > ein Kringel sein, habe den aber nicht erzeugen können.
> >
> > Hier ist ja die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen. Liege
> > ich daher richtig in der Annahme, dass ich [mm]\partial M\subseteq \bar M \backslash \dot M[/mm]
> > und [mm]\partial M\supseteq \bar M \backslash \dot M[/mm] zeigen
> > muss?
>
>
>
> Ja.
>
>
> >
> > Ich versuch mal:
> >
> > [mm]"\subseteq"[/mm]
> >
> > Sei [mm]x\in[/mm] [mm]\partial M[/mm][mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x\in \bar M[/mm] und [mm]x\in\bar X\backslash M[/mm]
> > (Nach Definition)
> >
> > Angenommen x ist auch in [mm]\dot M[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert
> > ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit [mm]B_{\epsilon}(x)\subset\dot M[/mm]
>
> Vorsicht ! Mit [mm]B_{\epsilon}(x)[/mm] meinst Du sicher eine Kugel
> um x mit Radius [mm]\epsilon.[/mm] Du denkts zu "metrisch " .
>
> Du bist in einem allgemeinen Topologischen Raum ! Da kannst
> Du keine Abstände messen.
Aah ok, das hatte ich noch nicht verinnerlicht.
> Ersezte also [mm]B_{\epsilon}(x)[/mm] durch U = Umgebung vonx.
>
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]B_{\epsilon}(x)\cap\partial M[/mm][mm] =\emptyset.[/mm]
> > Widerspruch, weil x ja in [mm]\partial M[/mm] ist.
>
> Das hast Du, bis auf [mm]B_{\epsilon}(x),[/mm] prima gemacht.
>
>
> >
> > [mm],,\supseteq"[/mm] hab ich noch nicht hinbekommen.
> >
> > Ist das denn vom Prinzip her so zu zeigen?
>
> Ja
>
> > Das geht doch
> > bestimmt schöner, ohne Widerspruchsbeweis!?
>
> Dein Beweis ist doch schön.
>
> > Und wie zeige
> > ich die Rückrichtung? Ich tu mich wirklich schwer, brauche
> > noch viel Übung darin!
>
>
> Sei x [mm]\in \overline{M}[/mm] und x [mm]\notin M^o[/mm]
>
> Sei U eine Umgebung von x. Zeigen mußt Du:
>
> 1. U [mm]\cap[/mm] M [mm]\ne \emptyset[/mm]
>
> und
>
> 2. U [mm]\cap[/mm] (X \ M) [mm]\ne \emptyset[/mm]
>
> 1. folgt sofort aus x [mm]\in \overline{M}[/mm]
>
> Für 2. nimm mal an, es sei U [mm]\cap[/mm] (X \ M)= [mm]\emptyset[/mm]
Ok also angenommen U [mm]\cap[/mm] (X \ M)= [mm]\emptyset[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]U\subset M^o[/mm]
[mm] \Rightarrow x\in M^o [/mm] Widerspruch zu [mm] x\notin [/mm] M°
Da also gilt: U [mm]\cap[/mm] (X \ [mm] M)\not=[/mm] [mm]\emptyset[/mm] und [mm] U\cap M\not=\emptyset
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x\in\partial M[/mm] (nach Definition)
So etwa?
Danke für die Hilfe!
Grüße, kulli
> FRED
> >
> > Grüße, kulli
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei X ein topologischer Raum und [mm]M\subset[/mm] X. Es seien [mm]\dot M[/mm]
> > > (Menge der inneren Punkte von M), [mm]\bar M[/mm] (Menge der
> > > Berührpunkte) und [mm]\partial[/mm] M (Menge der Randpunkte).
> > > Zeige:
> > >
> > > (a) [mm]\partial M[/mm] =[mm] \bar M\backslash\dot M[/mm]
> > > Hallo,
> also
> > für
> > > mich sind die Begriffe rund um topologische Räume noch
> > > etwas neu und auch die Aufgaben fallen mir etwas schwer. Es
> > > kommt mir hier bei der (a) ein bisschen so vor, als müsste
> > > ich eine Definition beweisen..
> > >
> > > Kleine Bemerkung: Der Punkt über dem M sollte eigentlich
> > > ein Kringel sein, habe den aber nicht erzeugen können.
> > >
> > > Hier ist ja die Gleichheit von zwei Mengen zu zeigen. Liege
> > > ich daher richtig in der Annahme, dass ich [mm]\partial M\subseteq \bar M \backslash \dot M[/mm]
> > > und [mm]\partial M\supseteq \bar M \backslash \dot M[/mm] zeigen
> > > muss?
> >
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > >
> > > Ich versuch mal:
> > >
> > > [mm]"\subseteq"[/mm]
> > >
> > > Sei [mm]x\in[/mm] [mm]\partial M[/mm][mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x\in \bar M[/mm] und [mm]x\in\bar X\backslash M[/mm]
> > > (Nach Definition)
> > >
> > > Angenommen x ist auch in [mm]\dot M[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert
> > > ein [mm]\epsilon>0[/mm] mit [mm]B_{\epsilon}(x)\subset\dot M[/mm]
> >
> > Vorsicht ! Mit [mm]B_{\epsilon}(x)[/mm] meinst Du sicher eine Kugel
> > um x mit Radius [mm]\epsilon.[/mm] Du denkts zu "metrisch " .
> >
> > Du bist in einem allgemeinen Topologischen Raum ! Da kannst
> > Du keine Abstände messen.
>
> Aah ok, das hatte ich noch nicht verinnerlicht.
>
> > Ersezte also [mm]B_{\epsilon}(x)[/mm] durch U = Umgebung vonx.
> >
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]B_{\epsilon}(x)\cap\partial M[/mm][mm] =\emptyset.[/mm]
> > > Widerspruch, weil x ja in [mm]\partial M[/mm] ist.
> >
> > Das hast Du, bis auf [mm]B_{\epsilon}(x),[/mm] prima gemacht.
> >
> >
> > >
> > > [mm],,\supseteq"[/mm] hab ich noch nicht hinbekommen.
> > >
> > > Ist das denn vom Prinzip her so zu zeigen?
> >
> > Ja
> >
> > > Das geht doch
> > > bestimmt schöner, ohne Widerspruchsbeweis!?
> >
> > Dein Beweis ist doch schön.
> >
> > > Und wie zeige
> > > ich die Rückrichtung? Ich tu mich wirklich schwer, brauche
> > > noch viel Übung darin!
> >
> >
> > Sei x [mm]\in \overline{M}[/mm] und x [mm]\notin M^o[/mm]
> >
> > Sei U eine Umgebung von x. Zeigen mußt Du:
> >
> > 1. U [mm]\cap[/mm] M [mm]\ne \emptyset[/mm]
> >
> > und
> >
> > 2. U [mm]\cap[/mm] (X \ M) [mm]\ne \emptyset[/mm]
> >
> > 1. folgt sofort aus x [mm]\in \overline{M}[/mm]
> >
> > Für 2. nimm mal an, es sei U [mm]\cap[/mm] (X \ M)= [mm]\emptyset[/mm]
>
> Ok also angenommen U [mm]\cap[/mm] (X \ M)= [mm]\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]U\subset M^o[/mm]
Nein. Das kannst Du nicht sagen. Sondern: [mm]U\subset M[/mm]
> [mm]\Rightarrow x\in M^o[/mm]
Das stimmt dann wieder, denn wenn eine Umgebung von x in M liegt, ist x innerer Punkt von M.
> Widerspruch zu [mm]x\notin[/mm] M°
> Da also gilt: U [mm]\cap[/mm] (X \ [mm]M)\not=[/mm] [mm]\emptyset[/mm] und [mm]U\cap M\not=\emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x\in\partial M[/mm] (nach Definition)
Ja
FRED
>
> So etwa?
>
> Danke für die Hilfe!
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> Grüße, kulli
>
> > FRED
> > >
> > > Grüße, kulli
> > >
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| Aufgabe | Sei X ein topologischer Raum und [mm]M\subset[/mm] X. Es seien M°
(Menge der inneren Punkte von M), [mm]\overline{M}[/mm] (Menge der
Berührpunkte) und [mm]\partial[/mm] M (Menge der Randpunkte).
Zeige:
(b) Ist Y ein weiterer topologischer Raum und [mm] N\subset [/mm] Y, so gilt bzgl. der Produkttopologie auf X x Y:
(i) [mm](M\times N)[/mm]°=M° [mm] \times [/mm] N°
(ii) [mm]\overline{M\times N}[/mm][mm] =\overline{M}\times\overline{N}
[/mm]
(iii) [mm]\partial(M\times N)[/mm]=[mm](\partial M\times \overline{N})\cup(\overline{M}\times\partial N)[/mm] |
Alles klar, leuchtet ein Fred.
Ich versuch mich mal an der (b)
(i) [mm] "\subseteq"
[/mm]
Sei (a,b) [mm] \in[/mm] [mm](M\times N)[/mm]° dann gibt es eine Umgebung [mm] U_a [/mm] von a mit [mm] U_a \subset [/mm] U° und eine Umgebung [mm] U_b [/mm] von b mit [mm] U_b\subset [/mm] U°, s.d. [mm] U_a\times U_b \subset [/mm] M° [mm] \times [/mm] N°
[mm] \Rightarrow x\in [/mm] M° [mm] \times [/mm] N°
Ich weiß auch nicht.. ich sag das einfach so das es diese Umgebungen gibt, weil ich einfach nicht weiß was dagegen sprechen sollte. Was spricht dagegen? Oder wie soll man es sonst zeigen? Mir reicht auch ein kleiner (allgemeiner) Hinweis!
Grüße, kulli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 15.05.2012 | | Autor: | matux |
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