Gleichmächtigkeit von Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Sei m [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] \IZ_{\ge m} [/mm] gegeben durch [mm] \{x:x\in \IZ, x \ge m\}. [/mm] Zeige, dass [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ_{\ge m} [/mm] gleichmächtig sind. |
| Aufgabe 2 | | Weiter ist zu zeigen, dass [mm] \IN [/mm] gleichmächtig zu [mm] \IZ. [/mm] |
Guten Tag!
Mir bereitet der Nachweis der Gleichmächtigkeit oben genannter Mengen Probleme. Bei Aufgabe 2 habe ich versucht, eine Bijektion zwischen der Menge der natürlichen sowie ganzen Zahlen zu finden, wodurch ich auf folgende Idee gekommen bin:
[mm] f(n)=\begin{cases} n/2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -(n+1)/2, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
[mm] f^{-1}(z)=\begin{cases} 2z, & \mbox{für } z \mbox{ größer gleich 0} \\ -2z-1, & \mbox{für } z \mbox{ kleiner 0} \end{cases}
[/mm]
Damit habe ich doch gezeigt, dass [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ [/mm] gleichmächtig sind, oder?
Mir ist allerdings nicht klar, wie ich die Gleichmächtigkeit von [mm] \IN [/mm] und der eingeschränkten Menge der ganzen Zahlen durch [mm] \IZ_{\ge m} [/mm] nachweisen kann. Hat hier eventuell jemand einen Denkanstoß?
Ich bedanke mich für jegliche Unterstützung und wünsche noch einen angenehmen Feiertag!
Beste Grüße
mathe_thommy
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Guck mal abzählbare Unendlichkeit nach.
![[]](/images/popup.gif) Abzählbar unendliche Mengen
Solch eine Bijektion existiert übrigens nicht für N->R
Im Endeffekt läuft es darauf hinaus, dass N zwar weniger Elemente hat als Z auf den ersten Blick, jedoch weniger im Bezug auf abzählbar unendliche Mengen keinen Sinn macht. [mm] (\frac{\infty}{2}=\infty [/mm] grob gesagt)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Di 01.11.2016 | | Autor: | sinnlos123 |
Noch deutlicher wird es, wenn du eine Bijektion zwischen [mm] N_0 [/mm] und [mm] N_1 [/mm] zusammenbastelst.
[mm] f:N_0\to N_1 [/mm]
[mm] n\mapsto [/mm] n+1
Wie du leicht überprüfen kannst, ist das eine Bijektion, trotzdem hat [mm] N_1 [/mm] 1 Element weniger.
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Schönen Tag, mathe_tommy!
Genau, damit hast Du Gleichmächtigkeit von [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] gezeigt. Nun fehlt noch die Gleichmächtigkeit von [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ_{\ge m}$. [/mm] Fällt dir keine geeignete Bijektion ein? Eine solche ist viel leichter zu finden, als zwischen [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$.
[/mm]
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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Guten Abend Salamanderkoenigin!
Besten Dank für deine Rückmeldung. Wenn du sagst, dass die gesuchte Bijektion einfacher zu finden sei, stehe ich hier wohl auf dem Schlauch.
Nehmen wir für ein Beispiel $m=-100$ an, so umfasst die Menge [mm] \IZ_{\ge m} [/mm] folgende Elemente:
[mm] \IZ_{\ge -100}:=\{-100, -99, -98, ..., -1, 0, 1, 2, 3, ...\}.
[/mm]
Wie bringe ich das aber nun in eine vernünftige Abbildungsvorschrift? Ich müsste für die ersten 100 Elemente quasi wie in der vorangegangenen Aufgabenstellung vorgehen und für alle weiteren Elemente dann eine gewöhnliche natürliche Zahl wählen. Könntest du mir hier vielleicht einen Denkanstoß geben?
Ich habe nun noch einmal überlegt und bin auf etwas in dieser Form gekommen:
[mm] f_{m}(n)=n-m?
[/mm]
Ich bedanke mich für deine Unterstützung!
Beste Grüße
mathe_thommy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 02.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend Salamanderkoenigin!
>
> Besten Dank für deine Rückmeldung. Wenn du sagst, dass
> die gesuchte Bijektion einfacher zu finden sei, stehe ich
> hier wohl auf dem Schlauch.
>
> Nehmen wir für ein Beispiel [mm]m=-100[/mm] an, so umfasst die
> Menge [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] folgende Elemente:
> [mm]\IZ_{\ge -100}:=\{-100, -99, -98, ..., -1, 0, 1, 2, 3, ...\}.[/mm]
>
> Wie bringe ich das aber nun in eine vernünftige
> Abbildungsvorschrift? Ich müsste für die ersten 100
> Elemente quasi wie in der vorangegangenen Aufgabenstellung
> vorgehen und für alle weiteren Elemente dann eine
> gewöhnliche natürliche Zahl wählen. Könntest du mir
> hier vielleicht einen Denkanstoß geben?
>
> Ich habe nun noch einmal überlegt und bin auf etwas in
> dieser Form gekommen:
> [mm]f_{m}(n)=n-m?[/mm]
schreibe bitte immer dazu, von wo nach wo die Abbildung hingeht, also
Definitions- und Zielbereich. Diese Angaben sind unabdingbar, wenn man
von Bijektionen sprechen will (auch bei injektiven Abbildungen braucht
man wenigstens den Definitionsbereich, bei surjektiven den Zielbereich).
Machen wir es einfacher: Sei [mm] $\IN$ [/mm] die Menge der natürlichen Zahlen, ich
nehme jetzt einfach mal an, dass $0 [mm] \in \IN$, [/mm] also die 0 dazugehört (bei mir
ist das normalerweise nicht so).
Sei der Einfachheit halber $m=-3$. Dann würdest Du setzen (ich schreibe
jetzt erstmal [mm] $\tilde{f}$, [/mm] weil das nicht so ganz klar ist):
[mm] $\tilde{f}_m(n)=\tilde{f}_{-3}(n):=n-(-3)=n+3$,
[/mm]
wobei [mm] $\tilde{f}_m: \IN \to \IZ_{\ge m}=\IZ_{\ge -3}$
[/mm]
ist, wenn ich Dich richtig verstehe. Leider ist $-2 [mm] \notin \tilde{f}_m(\IN)$, [/mm] damit wäre
[mm] $\tilde{f}$ [/mm] nicht surjektiv (beachte $-2 [mm] \in \IZ_{\ge -3}$) [/mm] und damit insbesondere nicht bijektiv.
Jetzt könnte ich Dich aber auch falsch verstanden haben, und Du meintest
doch
[mm] $f_m: \IZ_{\ge m} \to \IN$ [/mm] mit [mm] $f_m(z):=z-m$ [/mm] für jedes $z [mm] \in \IZ_{\ge m}$.
[/mm]
In diesem Fall hättest Du recht, dass [mm] $f_m(z):=z-m$ [/mm] eine Bijektion von
[mm] $\IZ_{\ge m}$ [/mm] nach [mm] $\IN=\IN_0$ [/mm] liefert [mm] ($\IN_0 [/mm] = [mm] \IN \cup \{0\}$ [/mm] - ich schreibe das nur der Deutlichkeit
wegen hier so hin, weil bei mir normalerweise $0 [mm] \notin \IN$ [/mm] gilt).
Beweise das letzte bitte! (Injektivität sollte schnell gehen, die Surjektivität
ist minimal aufwendiger.)
P.S. Beachte bitte, dass eigentlich auch nachzuweisen ist, dass für jedes
$z [mm] \in \IZ_{\ge m}$ [/mm] auch $z-m [mm] \in \IN=\IN_0$ [/mm] ist, denn andernfalls dürfte man ja schon gar nicht
[mm] $f_m: \IZ_{\ge m} \red{\to \IN}$ [/mm] schreiben.
(Beispiel: Wenn ich von der Abbildung $g [mm] \colon \IR \to [1,\infty)$ [/mm] mit [mm] $g(x):=x^2$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm]
spreche, betreibe ich Unsinn, da bspw. $1/2 [mm] \in \IR$, [/mm] aber $g(1/2)=1/4 [mm] \notin [1,\infty)$ [/mm] ist!!)
Gruß,
Marcel
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Schönen Tag allerseits!
Nette Ausführung, Marcel - gefällt mir  In den Fällen, wo es möglich ist, sollte man aber lieber eine inverse Funktion angeben. Erstens hat man damit mehr Informationen gewonnen - nämlich, wie die inverse Funktion aussieht, und zweitens ist es für gewöhnlich leichter. Geheimtipp für minimalen Denk-, Rechen- und Schreibaufwand:
Zwei Funktionen [mm] $f\colon X\longrightarrow [/mm] Y$ und [mm] $g\colon Y\longrightarrow [/mm] X$ sind genau dann invers, wenn die Äquivalenz [mm] $f(x)=y\iff [/mm] x=g(y)$ gilt.
Dies zeigt einerseits, dass Bijektivität zu prüfen tatsächlich dasselbe ist, wie eine Gleichung aufzulösen. Andererseits erinnert es (zum Glück) an Galois-Korrespondenzen.
Mathematische Grüße
Die Salamanderprinzessin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mi 02.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Wieso einmal Salamanderkoenigin und einmal Salamanderprinzessin, ist das nicht ein Paradoxon? 
X3nion
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schönen Tag allerseits!
>
> Nette Ausführung, Marcel - gefällt mir In den
> Fällen, wo es möglich ist, sollte man aber lieber eine
> inverse Funktion angeben. Erstens hat man damit mehr
> Informationen gewonnen - nämlich, wie die inverse Funktion
> aussieht, und zweitens ist es für gewöhnlich leichter.
> Geheimtipp für minimalen Denk-, Rechen- und
> Schreibaufwand:
>
> Zwei Funktionen [mm]f\colon X\longrightarrow Y[/mm] und [mm]g\colon Y\longrightarrow X[/mm]
> sind genau dann invers, wenn die Äquivalenz [mm]f(x)=y\iff x=g(y)[/mm]
> gilt.
kann man so schreiben (da fehlt noch was mit "für alle x aus X bzw. für
alle y aus Y"), aber ich bevorzuge: $f [mm] \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] Y$ und $g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$
sind genau dann einander invers, wenn sowohl $g [mm] \circ f=\text{id}_X$ [/mm] als auch
$f [mm] \circ g=\text{id}_Y$ [/mm] gilt.
Wenn man [mm] $f\,$ [/mm] kennt, ist es zwar in einigen Fällen *leicht*, g auszurechnen
(in der Schule lernt man sowas rudimentär: Schreibe y anstatt f(x) und tausche
danach x gegen y und stelle die Formel nach (dem neuen) y um) / geometrisch
diese Spiegelung des Graphen an der Geraden y=x für die meisten Funktionen,
die man in der Schule behandelt); aber in vielen schwer zu *erraten*. Und
in vielen Fällen braucht man gar nicht die konkrete Angabe einer
Umkehrfunktion, sondern bloß deren Existenz.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Mi 02.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Sei m [mm]\in \IZ[/mm] und [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] gegeben durch [mm]\{x:x\in \IZ, x \ge m\}.[/mm]
> Zeige, dass [mm]\IN[/mm] und [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] gleichmächtig sind.
> Weiter ist zu zeigen, dass [mm]\IN[/mm] gleichmächtig zu [mm]\IZ.[/mm]
> Guten Tag!
>
> Mir bereitet der Nachweis der Gleichmächtigkeit oben
> genannter Mengen Probleme. Bei Aufgabe 2 habe ich versucht,
> eine Bijektion zwischen der Menge der natürlichen sowie
> ganzen Zahlen zu finden, wodurch ich auf folgende Idee
> gekommen bin:
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} n/2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ -(n+1)/2, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(z)=\begin{cases} 2z, & \mbox{für } z \mbox{ größer gleich 0} \\ -2z-1, & \mbox{für } z \mbox{ kleiner 0} \end{cases}[/mm]
>
> Damit habe ich doch gezeigt, dass [mm]\IN[/mm] und [mm]\IZ[/mm]
> gleichmächtig sind, oder?
>
> Mir ist allerdings nicht klar, wie ich die
> Gleichmächtigkeit von [mm]\IN[/mm] und der eingeschränkten Menge
> der ganzen Zahlen durch [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] nachweisen kann. Hat
> hier eventuell jemand einen Denkanstoß?
>
> Ich bedanke mich für jegliche Unterstützung und wünsche
> noch einen angenehmen Feiertag!
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
Huhu,
noch eben eine Bemerkung von mir :)
[mm] $\IZ_{\ge m}$ [/mm] ist doch nichts anderes als [mm] $[m,\infty)$ [/mm] wohingegen [mm] $\IN=[1,\infty)$ [/mm] ist. Wenn du eine Bijektion suchst, verschiebe doch einfach die $1$ zu $m$ hin. [Ok, so aufgeschrieben ist das Muell!!!!]
Die Hauptidee bleibt aber: Finde eine Abbildung, die die $1$ zu $m$ hin verschiebt :)
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Mi 02.11.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Chris!
> [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] ist doch nichts anderes als [mm][m,\infty)[/mm] wohingegen $ [mm] \IN=[1,\infty) [/mm] $
Das sehe ich anders: Sei bspw. $m=8$. Dann ist
[mm] $Z_{\ge 8}=\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}$.
[/mm]
Darüberhinaus gilt
[mm] $\IN=\{1,2,\ldots\}\not=[1,\infty)=\{x\in\IR\colon 1\le x<\infty\}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mi 02.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo Chris!
Hallo DieAcht :)
>
>
> > [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] ist doch nichts anderes als [mm][m,\infty)[/mm]
> wohingegen [mm]\IN=[1,\infty)[/mm]
>
> Das sehe ich anders: Sei bspw. [mm]m=8[/mm]. Dann ist
>
> [mm]Z_{\ge 8}=\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm].
Entschuldigung, wenn ich gerade was uebersehe, aber wieso ist
[mm] $\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}$?
[/mm]
[mm] $\{8,9,....\}$ [/mm] zaehlt doch von 8 bis unendlich hoch, oder nicht? Ist das nicht das gleiche wie [mm] $[8,\infty)$? [/mm] Oder haben wir vlt. verschiedene Definitionen von "$[$" und "$)$"?
Sorry, stehe etwas auf dem Schlauch :)
>
> Darüberhinaus gilt
>
> [mm]\IN=\{1,2,\ldots\}\not=[1,\infty)=\{x\in\IR\colon 1\le x<\infty\}[/mm].
Gleiche Frage hier ;)
>
>
> Gruß
> DieAcht
Gruss,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Mi 02.11.2016 | | Autor: | DieAcht |
> > > [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] ist doch nichts anderes als [mm][m,\infty)[/mm]
> > wohingegen [mm]\IN=[1,\infty)[/mm]
> >
> > Das sehe ich anders: Sei bspw. [mm]m=8[/mm]. Dann ist
> >
> > [mm]Z_{\ge 8}=\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm].
>
> Entschuldigung, wenn ich gerade was uebersehe, aber wieso
> ist
>
> [mm]\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm]?
>
> [mm]\{8,9,....\}[/mm] zaehlt doch von 8 bis unendlich hoch, oder nicht?
Ja.
> Ist das nicht das gleiche wie [mm][8,\infty)[/mm]?
Nein.
Zum Beispiel ist [mm] $\pi^2\in[8,\infty)$, [/mm] aber [mm] $\pi^2\not\in\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}$.
[/mm]
(Dennoch gilt
$ [mm] \{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\subset[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\} [/mm] $.)
> Oder haben wir vlt. verschiedene Definitionen von "[mm][[/mm]" und "[mm])[/mm]"?
Definition
> > Darüberhinaus gilt
> >
> > [mm]\IN=\{1,2,\ldots\}\not=[1,\infty)=\{x\in\IR\colon 1\le x<\infty\}[/mm].
>
> Gleiche Frage hier ;)
Siehe oben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mi 02.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> > > > [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] ist doch nichts anderes als [mm][m,\infty)[/mm]
> > > wohingegen [mm]\IN=[1,\infty)[/mm]
> > >
> > > Das sehe ich anders: Sei bspw. [mm]m=8[/mm]. Dann ist
> > >
> > > [mm]Z_{\ge 8}=\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm].
>
> >
> > Entschuldigung, wenn ich gerade was uebersehe, aber wieso
> > ist
> >
> > [mm]\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm]?
>
> >
> > [mm]\{8,9,....\}[/mm] zaehlt doch von 8 bis unendlich hoch, oder
> nicht?
>
> Ja.
>
> > Ist das nicht das gleiche wie [mm][8,\infty)[/mm]?
>
> Nein.
>
> Zum Beispiel ist [mm]\pi^2\in[8,\infty)[/mm], aber
> [mm]\pi^2\not\in\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}[/mm].
Aaaaaaaaah, die Klammern implizieren, dass die zugrunde liegende Menge [mm] $\IR$ [/mm] ist. Das habe ich uebersehen.
Werde das korrigieren! Aber die Hauptidee, $1$ auf $m$ zu verschieben bleibt ja ;)
>
> (Dennoch gilt
>
> [mm]\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\subset[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\} [/mm].)
>
> > Oder haben wir vlt. verschiedene Definitionen von "[mm][[/mm]" und
> "[mm])[/mm]"?
>
> Definition
>
> > > Darüberhinaus gilt
> > >
> > > [mm]\IN=\{1,2,\ldots\}\not=[1,\infty)=\{x\in\IR\colon 1\le x<\infty\}[/mm].
>
> >
> > Gleiche Frage hier ;)
>
> Siehe oben.
Danke,
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:01 Mi 02.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Huhu,
>
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> > > > > [mm]\IZ_{\ge m}[/mm] ist doch nichts anderes als [mm][m,\infty)[/mm]
> > > > wohingegen [mm]\IN=[1,\infty)[/mm]
> > > >
> > > > Das sehe ich anders: Sei bspw. [mm]m=8[/mm]. Dann ist
> > > >
> > > > [mm]Z_{\ge 8}=\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Entschuldigung, wenn ich gerade was uebersehe, aber wieso
> > > ist
> > >
> > > [mm]\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}=\{8,9,\ldots\}\not=[8,\infty)=\{x\in\IR\colon 8\le x<\infty\}[/mm]?
>
> >
> > >
> > > [mm]\{8,9,....\}[/mm] zaehlt doch von 8 bis unendlich hoch, oder
> > nicht?
> >
> > Ja.
> >
> > > Ist das nicht das gleiche wie [mm][8,\infty)[/mm]?
> >
> > Nein.
> >
> > Zum Beispiel ist [mm]\pi^2\in[8,\infty)[/mm], aber
> > [mm]\pi^2\not\in\{x\colon x\in\IZ, x\ge 8\}[/mm].
>
> Aaaaaaaaah, die Klammern implizieren, dass die zugrunde
> liegende Menge [mm]\IR[/mm] ist. Das habe ich uebersehen.
meistens. Wenn [mm] $\IR$ [/mm] schon eingeführt ist, auf jeden Fall. Sonst schreiben
manche das auch manchmal für rationale Zahlen (meistens aber mit einer
Bemerkung oder mit dem Index [mm] $\IQ$ [/mm] an dem Intervallsymbol).
> Werde das korrigieren!
Schreibe halt bspw. [mm] $[a,\infty) \cap \IZ$ [/mm] für das, was Du meinst:
[mm] $[a,\infty) \cap \IZ=\{r \in \IR\colon\;r \ge a\} \cap \IZ=\{r \in \IZ:\;\; r \ge a\}$
[/mm]
> Aber die Hauptidee, [mm]1[/mm] auf [mm]m[/mm] zu
> verschieben bleibt ja ;)
Ja. Nur gehe ich hier mal davon aus, dass die auch [mm] $\IN=\IN \cup \{0\}=\IN_0$ [/mm] benützen, aber
das ist nur eine Spekulation, die sich aufgrund einer Funktionsdefinition ergab.
P.S. [mm] $\IZ_{\ge m}=[m,\infty) \cap \IZ$. [/mm] Dafür sollten dann aber die reellen Zahlen schon eingeführt
worden sein.
Und sofern [mm] $\IN=\IN_0$ [/mm] ist, ist auch [mm] $\IN=\IZ_{\ge 0}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Do 03.11.2016 | | Autor: | Chris84 |
Hallo Marcel,
danke fuer die detaillierte Ausfuehrung :)
Gruss,
Chris
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