Gleichmäßige Approximation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Fr 09.03.2007 | | Autor: | roja |
| Aufgabe | Was versteht man unter der gleichmäßigen Approximation einer Wunschfunktion?
Nennen Sie bekannte Beispiele. |
Hallo @all,
bei der Vorbereitung zu einer Klausur in Signalverarbeitung bin ich auf die Frage gestoßen. Ich habe schon in div. Literatur gesucht, aber nichts entsprechendes gefunden.
Vielleicht kann mir ja jemand von Euch eine Antwort darauf geben.
Vielen Dank
Gruss Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Sa 10.03.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo roja,
dieser Begriff der gleichmäßigen Approximation taucht häufig in der Signalverarbeitung auf. Mir ist keine mathematische allgemeingültige Definition bekannt, die Idee, die hinter dem Begriff der Gleichmäßigkeit steckt, zumindest so wie sie gerne von Nachrichtentechnikern gebraucht wird, ist jedoch gut nachvollziehen.
Mit einer Approximation möchte man einen vorgegebenen Signalverlauf möglichst gut mithilfe einer Näherungsfunktion beschreiben, diese Näherungsfunktion hat die Eigenschaft, einfacher beschreibbar, ausrechenbar oder verarbeitbar zu sein. Es ist demzufolge natürlich, dass zwischen der Originalfunktion und der Approximation ein Fehler auftritt, den man nicht zu groß werden lassen möchte. Was macht man? Nun, da gibt es verschiedene Möglichkeiten, aber alle haben gemeinsam, dass bei einer Verbesserung der Approximation der Fehler zwischen der Originalfunktion und der Näherungsfunktion nach einem festgelegten Maß kleiner wird. Eine gleichmäßige Approximation nähert sich bei Änderung der Näherungsfunktion dem Signalverlauf derart an, dass der Fehler immer geringer wird und dies in einer nachvollziehbaren Art und Weise, die man geeignet kontrollieren kann.
Angenommen es ist ein Kurvenverlauf vorgegeben, den man mit Hilfe einer Polynomgleichung annähern soll. Hier hat man verschiedene Möglichkeiten, diese Annäherung gleichmäßig zu verbessern. Ein paar Beispiele zähle ich hier mal auf, kombiniert werden können sie natürlich auch:
a) Anzahl der Stützwerte der Näherungsfunktion vergrößern im betrachteten Funktionsintervall
b) Grad der Polynomfunktion vergrößern oder andere Näherungsfunktionen einführen, die eventuell besser geeignet sind (Fourier lässt grüßen)
c) Genauigkeit der Stützwerte vergrößern (bei der digitalen Signalverarbeitung entspricht dies einer Verfeinerung der Quantisierung)
Dies sind so die Methoden, die mir ad hoc einfallen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Mi 14.03.2007 | | Autor: | chyval |
"Gleichmäßige Approximation" ist ein wohl definierter Begriff der Mathematik, vgl. z.B. den in jeder Analysis-Anfängervorlesung behandelten WEIERSTRASS'schen Approximationssatz: Sei f : [mm] \IR^n \rightarrow \IR [/mm] stetig, [mm] \IK \subset \IR^n \mmkompakt. [/mm] Dann lässt sich f auf [mm] \IK [/mm] GLEICHMÄßIG durch Polynome approximieren.
Liebe Grüße
[mm] {\exists} [/mm] Ric
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