Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Kyrill |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass die Reihe
f(z)= [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{z^2+k^2}
[/mm]
gleichmäßig auf R konvergiert. z [mm] \in \IC.
[/mm]
b) Bestimmen Sie dier Menge U aller z [mm] \in \IC, [/mm] für die die Reihe f(z) definiert ist. Zeigen Sie, dass f(z) in U punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert. |
Hallo,
zu a) ich habe mir gedacht, da ich nur zeigen soll, dass es auf R konverigert habe ich die Zahl z durch die reele Zahl a ersetzt und habe es beliebige aber feste Zahl angesehen.
Dann habe ich nach dem Majorantenkriterium gesagt, dass
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{a^2+k^2} \le\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{k^2}
[/mm]
Da ich weiß, dass [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert habe ich ja eigentlich schon gezeigt, dass auch die andere Summe gleichmäßig konvergiert.
Bei der Aufgabe b habe ich leider keine Ahnung.
Bin für alles offen. Am liebsten sind mir natürlich Lösungen ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Kyrill!
> a) Zeigen Sie, dass die Reihe
>
> f(z)= [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{z^2+k^2}[/mm]
>
> gleichmäßig auf R konvergiert. z [mm]\in \IC.[/mm]
Was ist $R$?
> b) Bestimmen Sie dier Menge U aller z [mm]\in \IC,[/mm] für die die
> Reihe f(z) definiert ist. Zeigen Sie, dass f(z) in U
> punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert.
> Hallo,
> zu a) ich habe mir gedacht, da ich nur zeigen soll, dass
> es auf R konverigert habe ich die Zahl z durch die reele
> Zahl a ersetzt und habe es beliebige aber feste Zahl
> angesehen.
Nein, das reicht nicht. Wenn z.B. $z = i/2$ ist, dann ist [mm] $z^2 [/mm] = -1/4$. Und es ist [mm] $\frac{-1/4 + k^2} \ge \frac{1}{k^2}$, [/mm] $k [mm] \in \IN$. [/mm] Also hilft dir das Majorantenkriterium nicht viel.
Es sei denn $R$ ist beschraenkt; dann kannst du [mm] $|z^2 [/mm] + [mm] k^2| \ge k^2 [/mm] - c$ mit einer Konstanten $c > 0$ fuer alle $z [mm] \in [/mm] R$ abschaetzen und wieder das Majorantenkriterium anwenden. Danach solltest du mit dem Integralkriterium wunderbar die absolute Konvergenz der Reihe zeigen koennen.
> Bei der Aufgabe b habe ich leider keine Ahnung.
Wenn sich $z$ nahe [mm] $(ik)^2$ [/mm] befindet, $k [mm] \in \IN$, [/mm] dann wird [mm] $\frac{1}{z^2 + k^2}$ [/mm] ziemlich gross. Gleichmaessige Konvergenz bedeutet ja, dass du zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] angeben musst mit [mm] $\left|f(z) - \sum_{k=1}^n \frac{1}{z^2 + k^2}\right| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $z$ fuer die $f(z)$ konvergiert und alle $n [mm] \ge n_0$.
[/mm]
Wenn du jetzt $z$ und $n$ passend waehlst, dann kannst du [mm] $\left|f(z) - \sum_{k=1}^n \frac{1}{z^2 + k^2}\right|$ [/mm] beliebig gross bekommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Kyrill |
Hallo !
Mit R ist natürlich die Menge der reelen Zahlen und da die gleichmäßige Konvergenz auf [mm] \IR [/mm] bewiesen werden soll, entfallen eigentlich die imaginären Zahlen z.B. i/2. Stimmt dann das Kritierium ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Mit R ist natürlich die Menge der reelen Zahlen und da die
> gleichmäßige Konvergenz auf [mm]\IR[/mm] bewiesen werden soll,
> entfallen eigentlich die imaginären Zahlen z.B. i/2. Stimmt
> dann das Kritierium ?
Das aendert die Sache natuerlich gewaltig!  Ja, dann stimmt es so wie du es geschrieben hast.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 03.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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