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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:15 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
| Aufgabe | Für [mm] n\in\IN [/mm] seien die Funktionen [mm] f_n:\IR\to\IR
[/mm]
[mm] f_n(x)=\begin{cases}x^n*sin\bruch{1}{x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}
[/mm]
definiert.
a) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] auf [0,1] punktweise konvergiert und bestimmen Sie die dazugehörige Grenzfunktion f.
b) Konvergiert die Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] auf [0,1] sogar gleichmäßig? |
Bitte mal drüberschauen, ob das so "ordentlich" ist. Könnte man es vielleicht noch einfacher machen? Danke schonmal.
a) Die Aufgabe is klar. [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise gegen
[mm] f(x)=\begin{cases}0&x\in[0,1)\\sin(1)&x=1\end{cases}
[/mm]
b)Sei [mm] \epsilon=0,1. [/mm] z.z: es existiert [mm] n_0 [/mm] so dass für alle [mm] n\geqslant n_0 [/mm] gilt dass [mm] |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm] für alle [mm] x\in[0,1].
[/mm]
Sei nun [mm] n_0 [/mm] beliebig groß.
Es sind [mm] f_{n_0}(0)=0 [/mm] und [mm] f_{n_0}(1)=sin(1)\approx [/mm] 0,84.
Nach dem MWS existiert ein [mm] \xi\in(0,1) [/mm] mit [mm] f_{n_0}(\xi)=0,5.
[/mm]
Es gilt
[mm] |f_{n_0}(\xi)-f(\xi)|=|0,5-0|>\epsilon
[/mm]
Damit konvergiert [mm] (f_n) [/mm] nicht gleichmäßig.
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Hallo,
> Für [mm]n\in\IN[/mm] seien die Funktionen [mm]f_n:\IR\to\IR[/mm]
> [mm]f_n(x)=\begin{cases}x^n*sin\bruch{1}{x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}[/mm]
>
> definiert.
> a) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm]
> auf [0,1] punktweise konvergiert und bestimmen Sie die
> dazugehörige Grenzfunktion f.
> b) Konvergiert die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] auf
> [0,1] sogar gleichmäßig?
> Bitte mal drüberschauen, ob das so "ordentlich" ist.
> Könnte man es vielleicht noch einfacher machen? Danke
> schonmal.
>
> a) Die Aufgabe is klar. [mm](f_n)[/mm] konvergiert punktweise gegen
> [mm]f(x)=\begin{cases}0&x\in[0,1)\\sin(1)&x=1\end{cases}[/mm]
Das Ergebnis ist richtig.
Allerdings solltest du (von wegen "zeigen Sie, dass es punktweise konvergiert) noch etwas genauer auf deine Ideen zu den Grenzprozessen eingehen, also warum das rauskommt, was jetzt hier steht.
> b)Sei [mm]\epsilon=0,1.[/mm] z.z: es existiert [mm]n_0[/mm] so dass für alle
> [mm]n\geqslant n_0[/mm] gilt dass [mm]|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/mm] für alle
> [mm]x\in[0,1].[/mm]
> Sei nun [mm]n_0[/mm] beliebig groß.
> Es sind [mm]f_{n_0}(0)=0[/mm] und [mm]f_{n_0}(1)=sin(1)\approx[/mm] 0,84.
> Nach dem MWS existiert ein [mm]\xi\in(0,1)[/mm] mit
> [mm]f_{n_0}(\xi)=0,5.[/mm]
> Es gilt
> [mm]|f_{n_0}(\xi)-f(\xi)|=|0,5-0|>\epsilon[/mm]
>
> Damit konvergiert [mm](f_n)[/mm] nicht gleichmäßig.
Gefällt mir gut der Beweis, und scheint auch richtig zu sein 
Alternativ kannst du die Folge [mm] $x_{n} [/mm] = [mm] \left(1-\frac{1}{n}\right) \to [/mm] x = 1$ einsetzen.
Wenn [mm] f_{n}(x) [/mm] gleichmäßig stetig wäre, müsste [mm] f_{n}(x_{n}) \to [/mm] f(x) konvergieren. Tut es hier aber nicht.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Okay danke.
Keine Sorge, ich hab die a) ausfürhlicher gemacht. Wollte das nur hier nicht extra auführen :)
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> Für [mm]n\in\IN[/mm] seien die Funktionen [mm]f_n:\IR\to\IR[/mm]
> [mm]f_n(x)=\begin{cases}x^n*sin\bruch{1}{x^2}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}[/mm]
>
> definiert.
> a) Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm]
> auf [0,1] punktweise konvergiert und bestimmen Sie die
> dazugehörige Grenzfunktion f.
> b) Konvergiert die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] auf
> [0,1] sogar gleichmäßig?
> Bitte mal drüberschauen, ob das so "ordentlich" ist.
> Könnte man es vielleicht noch einfacher machen? Danke
> schonmal.
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> a) Die Aufgabe is klar. [mm](f_n)[/mm] konvergiert punktweise gegen
> [mm]f(x)=\begin{cases}0&x\in[0,1)\\sin(1)&x=1\end{cases}[/mm]
Hallo,
die Frage nach der glm Konvergenz kannst Du hier sehr schnell beantworten:
[mm] (f_n) [/mm] ist eine Folge stetiger Funktionen, welche pw. gegen eine unstetige Funktion f konvergiert ==> [mm] (f_n) [/mm] nicht glm konvergent.
Ein passender Satz findet sich bestimmt in Deinem Skript.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 So 21.02.2010 | | Autor: | Cybrina |
Danke, genau so ne Begründung hatte ich gesucht. So einen Satz hab ich zwar nicht gefunden, aber ich werd einfach mal fragen, ob die Begründung durchgehen würde.
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Hallo,
so, wie ich ihn aufgeschrieben habe, steht er auch normalerweise nicht da.
Sondern:
wenn eine Funktionenfolge aus stetigen Funktionen glm gegen eine Grenzfunktion konvergiert, ist die Grenzfunktion ebenfalls stetig.
Die Kontraposition ist dann das, was ich schrieb.
Gruß v. Angela
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