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Hallo ihr lieben,
erstmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin neu hier und hoffe ich könnt mir ein bisschen helfen. Es geht um Folgendes:
In der Vorlesung haben wir uns mit Gleichmäßiger Stetigkeit beschäftigt. leider habe ich das nicht so ganz verstanden. Also die Definiton : zu jedem [mm] \epsilon \ge [/mm] 0 gibt es [mm] \delta \ge [/mm] 0 , sodass für alle x,y [mm] \in [/mm] I |x-y| < [mm] \delta [/mm]
-> |f(x)-f(y)| < [mm] \epsilon
[/mm]
Nun soll ich beweisen, dass die Wurzelfunktion [mm] f:\IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] gleichmäßig stetig ist.
In der Vorlesung notierten wir Folgendendes:
Eigentlicher Beginn: Man will [mm] |(\wurzel(x)-\wurzel(y))|=\wurzel(y)-\wurzel(x)<\epsilon [/mm] erreichen.
<=> [mm] \wurzel(y)<\epsilon+\wurzel(x)
[/mm]
Beide Seiten >=0, dort sind die Wurzelfunktion und ihre Umkehrfunktion streng monoton wachsend, also ist äquivalent:
[mm] y<(\epsilon+\wurzel(x))^2=\epsilon^2+2*\epsilon*\wurzel(x)+ [/mm] x
Das ist auf jeden Fall erfüllt, wenn sogar [mm] y<\epsilon^2+ [/mm] x, da [mm] 2*\epsilon*\wurzel(x)>=0 [/mm] (Abschätzung).
Gleichbedeutend mit [mm] |(y-x)|=y-x<\epsilon^2, [/mm] wegen x<=y.
Das heißt, man kann [mm] \delta=\epsilon^2 [/mm] wählen.
den Beweis verstehe ich nahezu. Ich kann nur nicht nachvollziehen wieso man einfach [mm] \delta=\epsilon^2 [/mm] wählt. Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Also das man [mm] \delta [/mm] dort einsetzt wegen |x-y| < [mm] \delta [/mm] klar. aber wieso ist dies direkt gleich [mm] \epsilon^{2}?
[/mm]
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ihr lieben,
> erstmal: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich bin neu hier und hoffe ich könnt mir ein bisschen
> helfen. Es geht um Folgendes:
> In der Vorlesung haben wir uns mit Gleichmäßiger
> Stetigkeit beschäftigt. leider habe ich das nicht so ganz
> verstanden. Also die Definiton : zu jedem [mm]\epsilon \ge[/mm] 0
> gibt es [mm]\delta \ge[/mm] 0 , sodass für alle x,y [mm]\in[/mm] I |x-y| <
> [mm]\delta[/mm]
> -> |f(x)-f(y)| < [mm]\epsilon[/mm]
> Nun soll ich beweisen, dass die Wurzelfunktion [mm]f:\IR[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> In der Vorlesung notierten wir Folgendendes:
> Eigentlicher Beginn: Man will
> [mm]|(\wurzel(x)-\wurzel(y))|=\wurzel(y)-\wurzel(x)<\epsilon[/mm]
> erreichen.
>
> <=> [mm]\wurzel(y)<\epsilon+\wurzel(x)[/mm]
>
> Beide Seiten >=0, dort sind die Wurzelfunktion und ihre
> Umkehrfunktion streng monoton wachsend, also ist
> äquivalent:
>
> [mm]y<(\epsilon+\wurzel(x))^2=\epsilon^2+2*\epsilon*\wurzel(x)+[/mm]
> x
>
> Das ist auf jeden Fall erfüllt, wenn sogar [mm]y<\epsilon^2+[/mm]
> x, da [mm]2*\epsilon*\wurzel(x)>=0[/mm] (Abschätzung).
>
> Gleichbedeutend mit [mm]|(y-x)|=y-x<\epsilon^2,[/mm] wegen x<=y.
>
> Das heißt, man kann [mm]\delta=\epsilon^2[/mm] wählen.
>
>
> den Beweis verstehe ich nahezu. Ich kann nur nicht
> nachvollziehen wieso man einfach [mm]\delta=\epsilon^2[/mm] wählt.
Weil dieses [mm] \delta [/mm] das Gewünschte leistet , wie man durch obige Überlegungen sieht.
jedes positive [mm] \delta [/mm] mit [mm]\delta\le \epsilon^2[/mm] leistet ebenfalls das Gewünschte.
FRED
> Kann mir das vielleicht jemand erklären?
> Also das man [mm]\delta[/mm] dort einsetzt wegen |x-y| < [mm]\delta[/mm]
> klar. aber wieso ist dies direkt gleich [mm]\epsilon^{2}?[/mm]
>
> Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen
> LG
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Hey
danke für deine Schnelle Hilfe.
Aber man könnte [mm] \delta [/mm] doch auch einfach [mm] \ge \epsilon^{2} [/mm] wählen oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 23.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> danke für deine Schnelle Hilfe.
> Aber man könnte [mm]\delta[/mm] doch auch einfach [mm]\ge \epsilon^{2}[/mm]
> wählen oder?
nein ! Wenn das auch möglich wäre, so könntest Du doch [mm] \delta [/mm] wählen wie Du lustig bist !
beispiel: sei [mm] \varepsilon=1 [/mm] und [mm] \delta=25. [/mm] Wenn diese Wahl von [mm] \delta [/mm] möglich wäre, so hätten wir
| [mm] \wurzel{x}-\wurzel{y}|<1 [/mm] für alle x und y mit |x-y|<25.
Dann nehmen wir x=25 und x=1 und bekommen |x-y|=24<25, also
4= | [mm] \wurzel{x}-\wurzel{y}|<1 [/mm]
und das ist Quatsch !
FRED
> LG
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erstmal Danke
doch:
> von [mm]\delta[/mm] möglich wäre, so hätten wir
>
> | [mm]\wurzel{x}-\wurzel{y}|<1[/mm] für alle x und y mit
> |x-y|<25.
>
> Dann nehmen wir x=25 und x=1 und bekommen |x-y|=24<25,
>
>
> 4= | [mm]\wurzel{x}-\wurzel{y}|<1[/mm]
wie kommst du denn auf 4? denn [mm] \wurzel{24}\not= [/mm] 4 oder was hast du an dieser Stelle gerechnet? 
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Hallo,
> erstmal Danke
> doch:
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> > von [mm]\delta[/mm] möglich wäre, so hätten wir
> >
> > | [mm]\wurzel{x}-\wurzel{y}|<1[/mm] für alle x und y mit
> > |x-y|<25.
> >
> > Dann nehmen wir x=25 und x=1 und bekommen |x-y|=24<25,
> >
> >
> > 4= | [mm]\wurzel{x}-\wurzel{y}|<1[/mm]
>
> wie kommst du denn auf 4? denn [mm]\wurzel{24}\not=[/mm] 4 oder was
> hast du an dieser Stelle gerechnet?
Es ist doch mit den vorgelegten Werten [mm]x=25[/mm] und [mm]y=1[/mm] sicher [mm]\sqrt{x}=5[/mm] und [mm]\sqrt y=1[/mm], also [mm]|\sqrt x-\sqrt y|=|5-1|=4[/mm]
Was ist daran so kompliziert?
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo AnnaHundi und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") !
Ich wollte nur ein paar wichtige Ergänzungen zu deinem Anfang machen.
Den Rest hat der gute Fred geklärt!
> Es geht um Folgendes:
> In der Vorlesung haben wir uns mit Gleichmäßiger
> Stetigkeit beschäftigt. leider habe ich das nicht so ganz
> verstanden. Also die Definiton : zu jedem [mm]\epsilon \ge[/mm] 0
> gibt es [mm]\delta \ge[/mm] 0 , sodass für alle x,y [mm]\in[/mm] I |x-y| <
> [mm]\delta[/mm]
> -> |f(x)-f(y)| < [mm]\epsilon[/mm]
Das ist falsch, denn [mm] \epsilon [/mm] bzw. [mm] \delta [/mm] werden NIE Null.
Eine Abbildung [mm] f:D\to\IR,D\subseteq\IR, [/mm] heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn gilt:
[mm] \forall\epsilon>0\exists\delta=\delta(\epsilon)>0\forall x,y\in D:|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon.
[/mm]
> Nun soll ich beweisen, dass die Wurzelfunktion [mm]f:\IR[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] gleichmäßig stetig ist.
Das kann man auch nicht beweisen.
Du meinst die folgende Funktion:
[mm] f:\IR_0\longrightarrow\IR_0,f(x)=\sqrt{x}
[/mm]
Jetzt kannst du zeigen, dass $f$ gleichmäßig stetig ist 
Gruß
DieAcht
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