Gleichmäßige Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 01.05.2006 | | Autor: | luisa86 |
| Aufgabe | (a) Ist die Funktion f: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] f(x,y) = [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}} [/mm] gleichmäßig stetig?
(b) Sei [mm] B_{1} [/mm] (0) = {(x,y) [mm] \in \IR^{2}, x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] < 1)}
Ist die Funktion g: [mm] B_{1} [/mm] (0) [mm] \to \IR, [/mm] g (x,y) = sin ( [mm] \bruch{ \pi}{1-x^{2}-y^{2}} [/mm] gleichmäßig stetig? |
Hi,
also ich sitze gerad an dieser aufgabe und irgendwie weiß ich nicht, wie ich das machen soll...
Ich weiß die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit, die lautet ja, dass eine Abbildung gleichmäßig stetig, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, sodass ||f(x), f(x')|| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] x, x' [mm] \in [/mm] X mit ||x, x'|| < [mm] \delta, [/mm] aber wo kann ich da die funktion einsetzen.. Ich muss ja am Ende ein [mm] \delta [/mm] finden, sodass das gilt! Aber wie rechne ich damit?
Wäre echt dankbar, wenn wir jemand helfen könnte!
Lg,
Luisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Di 02.05.2006 | | Autor: | statler |
> (a) Ist die Funktion f: [mm]\IR^{2} \to \IR,[/mm] f(x,y) =
> [mm]\wurzel{x^{2} + y^{2}}[/mm] gleichmäßig stetig?
> (b) Sei [mm]B_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(0) = {(x,y) [mm]\in \IR^{2}, x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> 1)}
> Ist die Funktion g: [mm]B_{1}[/mm] (0) [mm]\to \IR,[/mm] g (x,y) = sin (
> [mm]\bruch{ \pi}{1-x^{2}-y^{2}}[/mm] gleichmäßig stetig?
>
> Ich weiß die Definition von gleichmäßiger Stetigkeit, die
> lautet ja, dass eine Abbildung gleichmäßig stetig, wenn zu
> jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 existiert, sodass
> ||f(x), f(x')|| < [mm]\varepsilon \forall[/mm] x, x' [mm]\in[/mm] X mit ||x,
> x'|| < [mm]\delta,[/mm] aber wo kann ich da die funktion einsetzen..
> Ich muss ja am Ende ein [mm]\delta[/mm] finden, sodass das gilt!
> Aber wie rechne ich damit?
Guten Morgen Luisa!
Die Aufgabe gehört mehr zu Analysis.
Genauso wichtig wie die Kenntnis der Definition ist eine gewisse Anschauung von den Dingen. Dann ist (a) sofort klar. f ist glm. stetig, weil immer, wenn 2 Punkte in der Ebene dicht beieinander liegen, auch ihre Abstände vom Ursprung annähernd gleich sind. Die Differenz der Abstände ist maximal gleich dem Abstand der Punkte voneinander, wie man sich mit einem Bildchen schnell klarmacht oder mit der Dreiecksungleichung nachrechnet.
g ist nicht glm. stetig. In Randnähe von B1 findet man beliebig dicht beieinander liegende Punkte, wo der Funktionswert einmal 1 und einmal -1 ist. Das Aufschreiben überlasse ich freundlicherweise dir.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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