Gleichmäßige Stetigkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mi 19.10.2011 | | Autor: | pila |
Hey,
Ich habe eine Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit. Ich muss einige Abschätzungen machen und durch Umwegen weiß ich, dass die Funktionen jeweils gleichmäßig stetig sind.
Gilt für gleichmäßig stetige Funktionen (z.B. $f$) auch:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0, [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] \| [/mm] f(x) - [mm] f(y)\| \le \| x-y\|$ [/mm] für alle $x,y [mm] \in [/mm] D: [mm] \|x-y \|< \delta$ [/mm] ?
Also anstatt [mm] $\varepsilon$ [/mm] das [mm] $\|x-y\|$. [/mm] Ich meine ich habe das irgendwo schonmal gesehen, aber finde gar nix in die Richtung. Wenn es stimmen würde, dann hätte ich meinen Beweis. Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird doch beliebig klein, dass müsste eigentlich doch stimmen? Keine Ahnung, ob wir das schonmal bewiesen haben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> ||f(x)-f(y)|| \le ||x-y|| < \delta
Nein,
das würde bedeuten jede gleichmässig stetige Funktion ist auch Lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante 1.
Nimm an : $f(x)= \sqrt{x}$ dann ist $\sqrt{x}$ gleichmässig stetig auf $[0,\infty]$ aber es gilt nicht :
||f(x)-f(y)||\le L ||x-y|| < \delta
denn für y=0
$||\sqrt{x} - 0 ||\le L||x|| \gdw ||\frac{x^{1/2}}{x}|| \le L \gdw 1 \le L || \sqrt{x}||$ geht jetzt x gegen 0 führt das zum Widerspruch 0\ge 1 für jedes $L \in \IR$
das umgekehrte gilt aber : jede lipschitzstetige Funktion ist auch glm. stetig.
denn es gilt:
$||f(x)-f(y) \le L || x-y|| < \delta$, dann folgt daraus mit $\epsilon := \frac{\delta}{L}$
$||f(x)-f(y} \le ||x-||y < \epsilon$
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 19.10.2011 | | Autor: | pila |
Ah. Vielen Dank schonmal dafür. Stimmt, bei Lipschitzstetigkeit war dies mit der Beschränkung der Ableitung. Dein Gegenbeispiel hat mir sehr geholfen nochmal die Begriffe etwas zu wiederholen. So frisch im neuen Semester ist einiges verloren gegangen. :)
Speziell geht es um diese Funktion. Ich habe sie vom mehrdimensionalen nach etlichen Umformungen in einer Summe von vielen eindimensionalen Funktionen zerlegen können. Wobei ich zeigen muss, dass diese $< n |x-y|$ sein müssen bzw. $< |x-y|$
[mm] $\psi [/mm] (x) := 1 - |x|, |x| < 1$ sonst $0$. Die Ableitung ist beschränkt ($ [mm] \lambda:=1$), [/mm] also ist sie lipschitzstetig und daher
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0, [mm] \exists \delta [/mm] > 0, [mm] \| \psi(x)-\psi(y) \| [/mm] < [mm] \lambda [/mm] |x-y|, [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] D: |x-y|< [mm] \delta$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Do 20.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Abl. in 0 existiert nicht, also musst du wenigstens da was anderes machen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 20.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
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> Ich habe eine Frage zur gleichmäßigen Stetigkeit. Ich
> muss einige Abschätzungen machen und durch Umwegen weiß
> ich, dass die Funktionen jeweils gleichmäßig stetig sind.
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> Gilt für gleichmäßig stetige Funktionen (z.B. [mm]f[/mm]) auch:
> [mm]\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: \| f(x) - f(y)\| \le \| x-y\|[/mm]
> für alle [mm]x,y \in D: \|x-y \|< \delta[/mm] ?
Das hab ich noch nie gesehen. Es ist aber auch sehr merkwürdig, denn nach
[mm]\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: [/mm]
taucht das [mm] \varepsilon [/mm] nicht mehr auf !!
Wo hast Du das denn her ?
FRED
>
> Also anstatt [mm]\varepsilon[/mm] das [mm]\|x-y\|[/mm]. Ich meine ich habe
> das irgendwo schonmal gesehen, aber finde gar nix in die
> Richtung. Wenn es stimmen würde, dann hätte ich meinen
> Beweis. Das [mm]\varepsilon[/mm] wird doch beliebig klein, dass
> müsste eigentlich doch stimmen? Keine Ahnung, ob wir das
> schonmal bewiesen haben.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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