Gleichmäßige Stetigkeit und se < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Zeige: a)
eine Funktion f: D [mm] \subseteq \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn für zwei beliebige Folgen [mm] (x_n)_(n \in \IN) [/mm] und [mm] (y_n)_(n \in \IN) [/mm] in D mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_n [/mm] - [mm] y_n) [/mm] = 0 auch stets [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) [/mm] - [mm] f(y_n)) [/mm] = gilt. |
Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe, wo ich nicht weiß wie ich den Beweis liefern soll.
Vom reinen Text lesen ist das logisch, aber ich habe keine ahnung wie ich das jetzt aufschreiben soll.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Danke und Grüße
Bodo
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Fr 18.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Bodo
1. Schritt einfache Stetigkeit in jedem Punkt. dabei dran denken, beliebige folge ist auch die konstante Folge [mm] x_n=x
[/mm]
2. Def. von gleichmäsig stetig wirklich noch mal aufschreiben. Dann weisst du ,was du beweisen musst. Und natürlich brauchst du die Def. des lim =0!
Fang mal an und zeig, wie weit du kommst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also für die gleichmäßige Stetigkeit gilt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0, [mm] \exists \delta [/mm] >0 : [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] -> |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Wie betrachten die beiden Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n), [/mm] für n [mm] \in \IN.
[/mm]
Für [mm] (x_n) [/mm] gilt : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = 0, da [mm] x_n ->x_0 [/mm] konvergiert!
Für [mm] (y_n) [/mm] gilt : [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n [/mm] = 0, da [mm] y_n ->y_0 [/mm] konvergiert!
insgesamt konvergiert demnach auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_n [/mm] - [mm] y_n) [/mm] = 0
Da beide gegen einen gemeinsames [mm] x_0 [/mm] bzw [mm] y_0 [/mm] konvergieren stimmen die Grenzwerte überein und damit stetig! Aufgrund dessen das scheinbar [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x_n [/mm] - [mm] y_n) [/mm] =0 gilt und nach obiger Definition < [mm] \delta [/mm] ist, folgt daraus das auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n) [/mm] - [mm] f(y_n)) [/mm] = 0 gilt, was nach (...) < [mm] \delta [/mm] -> |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
Ich habs mal probiert, aber sicher bin ich mir da nicht!
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> also für die gleichmäßige Stetigkeit gilt:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0, [mm]\exists \delta[/mm] >0 : [mm]|x-x_0|[/mm] <
> [mm]\delta[/mm] -> |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Wie betrachten die beiden Folgen [mm](x_n)[/mm] und [mm](y_n),[/mm] für n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Für [mm](x_n)[/mm] gilt : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = 0, da
> [mm]x_n ->x_0[/mm] konvergiert!
>
> Für [mm](y_n)[/mm] gilt : [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n[/mm] = 0, da
> [mm]y_n ->y_0[/mm] konvergiert!
das ist falsch. Warum sollte [mm] $x_n \to [/mm] 0$ bzw. [mm] $y_n \to [/mm] 0$ gelten? Betrachte doch mal [mm] $y_n:=n+\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $x_n:=n$. [/mm] Beide sind divergent, aber [mm] $y_n-x_n=\frac{1}{n}$ [/mm] konvergiert.
> insgesamt konvergiert demnach auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x_n[/mm] - [mm]y_n)[/mm] = 0
>
> Da beide gegen einen gemeinsames [mm]x_0[/mm] bzw [mm]y_0[/mm] konvergieren
> stimmen die Grenzwerte überein und damit stetig! Aufgrund
> dessen das scheinbar [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (x_n[/mm] -
> [mm]y_n)[/mm] =0 gilt und nach obiger Definition < [mm]\delta[/mm] ist, folgt
> daraus das auch [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(x_n)[/mm] -
> [mm]f(y_n))[/mm] = 0 gilt, was nach (...) < [mm]\delta[/mm] -> |f(x) -
> [mm]f(x_0)|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] gilt.
>
> Ich habs mal probiert, aber sicher bin ich mir da nicht!
>
> Grüße
Du bist zu Recht unsicher, denn da ist kaum ein Zusammenhang zur Aufgabe (und manches unsinnig), wenngleich man an manchen Stellen meint, zu erkennen: "Ah, da hat er was verstanden..."
Du es aber dann dennoch dann sprachlich irgendwie "verbockst". Ist nicht böse gemeint, aber Du musst halt wirklich aufpassen, dass Du auch das meinst, was Du schreibst und nicht so, dass der Leser erst durch raten erahnen kann, dass Du was anderes meinst, als Du schreibst 
Schreiben wir erstmal auf, was Du zu zeigen hast:
Es sind zwei Folgerungen zu beweisen, da oben "genau dann, wenn" steht.
1.) Wenn vorausgesetzt wird:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_\varepsilon [/mm] > 0$, so dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] schon gilt, dass [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$
[/mm]
Dann haben wir zu zeigen:
Sind [mm] $x_n$, $y_n \in [/mm] D$ mit [mm] $x_n-y_n \to [/mm] 0$, so folgt auch
[mm] $f(x_n)-f(y_n) \to [/mm] 0$.
Sei also nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest und [mm] $x_n$, $y_n \in [/mm] D$ mit [mm] $x_n-y_n \to [/mm] 0$.
Ich schreibe das ganze jetzt mal in Worten:
Wegen der Voraussetzung der glm. Stetigkeit von $f$ (genauer steht das oben, was das heißt) gibt es dann zu diesem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass, wenn nur $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] sind, schon folgt, dass $|f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Weil [mm] $x_n-y_n \to [/mm] 0$, werden wir aber ab einem [mm] $N=N_\delta$ [/mm] stets [mm] $|x_n-y_n| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] erreichen. Also gilt ab diesem [mm] $N=N_\delta=N_{\delta_\varepsilon}=N_{\varepsilon}$, [/mm] dass auch [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Weil [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig war, folgt, dass [mm] $\left(f(x_n)-f(y_n)\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, was zu zeigen war.
Nun hast Du noch zu zeigen:
2.) Wenn für alle [mm] $x_n$, $y_n \in [/mm] D$ mit [mm] $x_n -y_n \to [/mm] 0$ gilt, dass auch [mm] $f(x_n)-f(y_n) \to [/mm] 0$, so ist $f$ schon gleichmäßig stetig.
Wir werden den Beweis per Kontraposition führen, d.h., wenn $f$ nicht glm. stetig ist, dann gibt es zwei Folgen [mm] $(a_n)_n$, $(b_n)_n \in D^{\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n-b_n \to [/mm] 0$, aber [mm] $f(a_n)-f(b_n) \not\to [/mm] 0$.
Das geht wie folgt:
Weil $f$ nach Voraussetzung nun nicht glm. stetig ist, gibt es ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$, so dass für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ (mindestens) ein [mm] $a=a_\delta$, $b=b_\delta \in [/mm] D$ so existieren, dass [mm] $|a_\delta-b_\delta|< \delta$, [/mm] aber [mm] $|f(a_\delta)-f(b_\delta)| \ge \varepsilon_0$.
[/mm]
Durch Betrachten aller [mm] $\delta:=\delta_n:=\frac{1}{n} [/mm] > 0$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] lassen sich damit dann aber [mm] $a_n$, $b_n \in [/mm] D$ mit [mm] $|a_n-b_n|<\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $|f(a_n)-f(b_n)| \ge \varepsilon_0$ [/mm] angeben $(n [mm] \in \IN)$, [/mm] womit die in $D$ gelegenen Folgen [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n \in \IN}$ [/mm] die Eigenschaft haben, dass [mm] $a_n-b_n \to [/mm] 0$, aber [mm] $f(a_n)-f(b_n) \not\to [/mm] 0$. Genau dieses hatten wir bei der Kontraposition zeigen.
(Beachte bei dem Beweis zu 2.):
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\mbox{nicht } [/mm] B [mm] \Rightarrow \mbox{nicht }A$ [/mm] )
So, damit ist die Aufgabe so gut wie gelöst. Teil 1.) musst Du nur noch vielleicht formal umsetzen, Teil 2.) nachvollziehen (wobei Du vielleicht an einer Stelle nochmal eine Nachfrage haben könntest, wie ich meine ).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Marcel,
> Schreiben wir erstmal auf, was Du zu zeigen hast:
> Es sind zwei Folgerungen zu beweisen, da oben "genau dann,
> wenn" steht.
> 1.) Wenn vorausgesetzt wird:
> Für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert ein
> [mm]\delta=\delta_\varepsilon > 0[/mm], so dass für alle [mm]x,y \in D[/mm]
> mit [mm]|x-y| < \delta[/mm] schon gilt, dass
> [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
> Dann haben wir zu zeigen:
> Sind [mm]x_n[/mm], [mm]y_n \in D[/mm] mit [mm]x_n-y_n \to 0[/mm], so folgt auch
> [mm]f(x_n)-f(y_n) \to 0[/mm].
> Sei also nun [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> beliebig, aber fest und [mm]x_n[/mm], [mm]y_n \in D[/mm] mit [mm]x_n-y_n \to 0[/mm].
>
> Ich schreibe das ganze jetzt mal in Worten:
> Wegen der Voraussetzung der glm. Stetigkeit von [mm]f[/mm] (genauer
> steht das oben, was das heißt) gibt es dann zu diesem
> [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta > 0[/mm], so dass, wenn nur [mm]|x-y| < \delta[/mm]
> sind, schon folgt, dass [mm]|f(x)-f(y)| < \varepsilon[/mm].
>
Obiger Teil ist klar, so sollte das auch von mir gedacht sein!!!
Diesen Schritt müsstest du mir nochmal erklären! Wo kommt das N her?
Weil
> [mm]x_n-y_n \to 0[/mm], werden wir aber ab einem [mm]N=N_\delta[/mm] stets
> [mm]|x_n-y_n| < \delta[/mm] erreichen. Also gilt ab diesem
> [mm]N=N_\delta=N_{\delta_\varepsilon}=N_{\varepsilon}[/mm], dass
> auch [mm]|f(x_n)-f(y_n)| < \varepsilon[/mm].
> Weil [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> beliebig war, folgt, dass [mm]\left(f(x_n)-f(y_n)\right)_{n \in \IN}[/mm]
> eine Nullfolge ist, was zu zeigen war.
Kann man den Beweis nicht schon hier als erledigt ansehen? Es ist doch praktisch schon alles gezeigt was gezeigt werden sollte, oder nicht???
> Nun hast Du noch zu zeigen:
> 2.) Wenn für alle [mm]x_n[/mm], [mm]y_n \in D[/mm] mit [mm]x_n -y_n \to 0[/mm] gilt,
> dass auch [mm]f(x_n)-f(y_n) \to 0[/mm], so ist [mm]f[/mm] schon gleichmäßig
> stetig.
> Wir werden den Beweis per Kontraposition führen, d.h.,
> wenn [mm]f[/mm] nicht glm. stetig ist, dann gibt es zwei Folgen
> [mm](a_n)_n[/mm], [mm](b_n)_n \in D^{\IN}[/mm] mit [mm]a_n-b_n \to 0[/mm], aber
> [mm]f(a_n)-f(b_n) \not\to 0[/mm].
> Das geht wie folgt:
> Weil [mm]f[/mm] nach Voraussetzung nun nicht glm. stetig ist, gibt
> es ein [mm]\varepsilon_0 > 0[/mm], so dass für alle [mm]\delta > 0[/mm]
> (mindestens) ein [mm]a=a_\delta[/mm], [mm]b=b_\delta \in D[/mm] so
> existieren, dass [mm]|a_\delta-b_\delta|< \delta[/mm], aber
> [mm]|f(a_\delta)-f(b_\delta)| \ge \varepsilon_0[/mm].
>
Hier diesen letzten Teil, verstehe schon nicht mehr, wo kommen aufeinmal die a´s und b´s her?
Durch
> Betrachten aller [mm]\delta:=\delta_n:=\frac{1}{n} > 0[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm])
> lassen sich damit dann aber [mm]a_n[/mm], [mm]b_n \in D[/mm] mit
> [mm]|a_n-b_n|<\frac{1}{n}[/mm] und [mm]|f(a_n)-f(b_n)| \ge \varepsilon_0[/mm]
> angeben [mm](n \in \IN)[/mm], womit die in [mm]D[/mm] gelegenen Folgen
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm] die Eigenschaft
> haben, dass [mm]a_n-b_n \to 0[/mm], aber [mm]f(a_n)-f(b_n) \not\to 0[/mm].
> Genau dieses hatten wir bei der Kontraposition zeigen.
> (Beachte bei dem Beweis zu 2.):
> [mm]A \Rightarrow B[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\mbox{nicht } B \Rightarrow \mbox{nicht }A[/mm] )
Dieses 1/n stört mich zum Beispiel auch schon, wieder....
Gruß
Bodo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Schreiben wir erstmal auf, was Du zu zeigen hast:
> > Es sind zwei Folgerungen zu beweisen, da oben "genau
> dann,
> > wenn" steht.
> > 1.) Wenn vorausgesetzt wird:
> > Für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert ein
> > [mm]\delta=\delta_\varepsilon > 0[/mm], so dass für alle [mm]x,y \in D[/mm]
> > mit [mm]|x-y| < \delta[/mm] schon gilt, dass
> > [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
> > Dann haben wir zu zeigen:
> > Sind [mm]x_n[/mm], [mm]y_n \in D[/mm] mit [mm]x_n-y_n \to 0[/mm], so folgt auch
> > [mm]f(x_n)-f(y_n) \to 0[/mm].
> > Sei also nun [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> > beliebig, aber fest und [mm]x_n[/mm], [mm]y_n \in D[/mm] mit [mm]x_n-y_n \to 0[/mm].
>
> >
> > Ich schreibe das ganze jetzt mal in Worten:
> > Wegen der Voraussetzung der glm. Stetigkeit von [mm]f[/mm]
> (genauer
> > steht das oben, was das heißt) gibt es dann zu diesem
> > [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta > 0[/mm], so dass, wenn nur [mm]|x-y| < \delta[/mm]
> > sind, schon folgt, dass [mm]|f(x)-f(y)| < \varepsilon[/mm].
> >
>
> Obiger Teil ist klar, so sollte das auch von mir gedacht
> sein!!!
>
>
> Diesen Schritt müsstest du mir nochmal erklären! Wo kommt
> das N her?
Weil [mm] $x_n -y_n \to [/mm] 0$, gibt es ja zu jedem $M > 0$ [mm] ($\varepsilon$ [/mm] ist ja schon vergeben, so dass ich hier eine andere Variable nehmen muss) ein [mm] $N=N_M \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $|x_n-y_n| [/mm] < M$.
Wir hatten [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ bel., aber fest. Wegen der glm. Stetigkeit von $f$ gab es dann ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit gewissen weiteren Eigenschaften [mm] ($|x-y|<\delta \Rightarrow$...), [/mm] dieses [mm] $\delta$ [/mm] hat also insbesondere die Eigenschaft [mm] $\delta [/mm] > 0$.
Damit findet sich dann insbesondere zu diesem speziellen [mm] $M=\delta [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_\delta$, [/mm] so dass [mm] $|x_n-y_n|< \delta$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ ausfällt.
> Weil
> > [mm]x_n-y_n \to 0[/mm], werden wir aber ab einem [mm]N=N_\delta[/mm] stets
> > [mm]|x_n-y_n| < \delta[/mm] erreichen. Also gilt ab diesem
> > [mm]N=N_\delta=N_{\delta_\varepsilon}=N_{\varepsilon}[/mm], dass
> > auch [mm]|f(x_n)-f(y_n)| < \varepsilon[/mm].
> > Weil [mm]\varepsilon > 0[/mm]
> > beliebig war, folgt, dass [mm]\left(f(x_n)-f(y_n)\right)_{n \in \IN}[/mm]
> > eine Nullfolge ist, was zu zeigen war.
>
>
>
>
> Kann man den Beweis nicht schon hier als erledigt ansehen?
> Es ist doch praktisch schon alles gezeigt was gezeigt
> werden sollte, oder nicht???
Wie meinst Du das? Ich meine, Du hast die Aussagen (in Kurzform):
$R$: $f$ ist glm. stetig
$S$: Für alle [mm] $x_n,y_n \in [/mm] D$ mit [mm] $x_n-y_n \to [/mm] 0$ folgt: [mm] $f(x_n)-f(y_n) \to [/mm] 0$
Und Du sollst zeigen: $R [mm] \gdw [/mm] S$, mit anderen Worten, Du hast die beiden Folgerungen:
1.) $R [mm] \Rightarrow [/mm] S$
2.) $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$
zu beweisen.
Bei 1.) heißt das:
Wenn $R$ als gültig vorausgesetzt wird, dann hat man zu zeigen, dass dann auch $S$ wahr sein muss.
Also (grob):
Unter der Voraussetzung, dass $f$ glm. stetig ist, ist zu zeigen, dass aus [mm] $x_n-y_n \to [/mm] 0$ schon folgt, dass [mm] $f(x_n)-f(y_n) \to [/mm] 0$.
Und in dem Beweisteil oben haben wir nur 1.), also die letzte Aussage bzw. die Folgerung: $R [mm] \Rightarrow [/mm] S$ gezeigt.
Es geht ja hier darum, dass man $R [mm] \gdw [/mm] S$ zu zeigen hat, und wenn man $R [mm] \Rightarrow [/mm] S$ gezeigt hat, fehlt noch die Rückrichtun $R [mm] \Leftarrow [/mm] S$ bzw. $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$. Diese Folgerung wird in 2.) gezeigt.
Denn 2.) heißt:
Wenn $S$ als gültig vorausgesetzt wird, dann ist zu zeigen, dass dann zwangsläufig $R$ wahr sein muss.
Oder ausgeschrieben (grob):
Wenn für alle [mm] $x_n, y_n \in [/mm] D$ aus [mm] $x_n -y_n \to [/mm] 0$ schon folgt, dass auch [mm] $f(x_n)-f(y_n) \to [/mm] 0$ gilt, dann muss die Aussage, dass $f$ glm. stetig ist, wahr sein (also dann muss $f$ gleichmäßig stetig sein).
Man kann wegen der aussagenlogischen Äquivalenz $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$
[mm] $\gdw$ $\mbox{nicht R} \Rightarrow \mbox{nicht } [/mm] S$
diesen Beweis per Kontraposition führen (das heißt, man beweist anstatt der Folgerung $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$ die Folgerung [mm] $\mbox{nicht R} \Rightarrow \mbox{nicht } [/mm] S$).
Genau das habe ich getan.
>
> > Nun hast Du noch zu zeigen:
> > 2.) Wenn für alle [mm]x_n[/mm], [mm]y_n \in D[/mm] mit [mm]x_n -y_n \to 0[/mm]
> gilt,
> > dass auch [mm]f(x_n)-f(y_n) \to 0[/mm], so ist [mm]f[/mm] schon gleichmäßig
> > stetig.
> > Wir werden den Beweis per Kontraposition führen, d.h.,
> > wenn [mm]f[/mm] nicht glm. stetig ist, dann gibt es zwei Folgen
> > [mm](a_n)_n[/mm], [mm](b_n)_n \in D^{\IN}[/mm] mit [mm]a_n-b_n \to 0[/mm], aber
> > [mm]f(a_n)-f(b_n) \not\to 0[/mm].
> > Das geht wie folgt:
> > Weil [mm]f[/mm] nach Voraussetzung nun nicht glm. stetig ist,
> gibt
> > es ein [mm]\varepsilon_0 > 0[/mm], so dass für alle [mm]\delta > 0[/mm]
> > (mindestens) ein [mm]a=a_\delta[/mm], [mm]b=b_\delta \in D[/mm] so
> > existieren, dass [mm]|a_\delta-b_\delta|< \delta[/mm], aber
> > [mm]|f(a_\delta)-f(b_\delta)| \ge \varepsilon_0[/mm].
> >
>
> Hier diesen letzten Teil, verstehe schon nicht mehr, wo
> kommen aufeinmal die a´s und b´s her?
Naja, per Definitionem gilt:
$f$ ist glm. stetig stetig: [mm] $\gdw$ $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists \delta [/mm] > 0$, so dass für $x,y [mm] \in [/mm] D$ gilt: $|x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Eine Funktion $f$ ist daher genau dann nicht glm. stetig, wenn NICHT gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\exists \delta [/mm] > 0$, so dass für $x,y [mm] \in [/mm] D$ gilt: $|x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Du wirst sicherlich gelernt haben, wie man das aussagenlogisch verneint, damit gelangst Du zu der Aussage:
$f$ ist nicht glm. stetig
[mm] $\gdw$ [/mm]
[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0$ [mm] $\forall \delta [/mm] > 0$: Es existieren $x,y [mm] \in [/mm] D$ mit $|x-y| < [mm] \delta$, [/mm] aber $|f(x)-f(y)| [mm] \ge \varepsilon$
[/mm]
Ich habe nun ein solches [mm] $\varepsilon$ [/mm] hergenommen, weil es eine feste Zahl $>0$ im weiteren Verlauf bleibt, es [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] genannt. Weil die $x,y$ von oben jeweils [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] erfüllen, habe ich dazugeschrieben, dass $x$ und $y$ in Abhängigkeit von [mm] $\delta$ [/mm] passend gewählt werden können.
Hier wird nicht mehr benutzt als die aussagenlogische Verneinung der glm. Stetigkeit, ich habe nur explizit die (interessanten und notwendigen) Abhängigkeiten dazugeschrieben.
> Durch
> > Betrachten aller [mm]\delta:=\delta_n:=\frac{1}{n} > 0[/mm] ([mm]n \in \IN[/mm])
> > lassen sich damit dann aber [mm]a_n[/mm], [mm]b_n \in D[/mm] mit
> > [mm]|a_n-b_n|<\frac{1}{n}[/mm] und [mm]|f(a_n)-f(b_n)| \ge \varepsilon_0[/mm]
> > angeben [mm](n \in \IN)[/mm], womit die in [mm]D[/mm] gelegenen Folgen
> > [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm] die Eigenschaft
> > haben, dass [mm]a_n-b_n \to 0[/mm], aber [mm]f(a_n)-f(b_n) \not\to 0[/mm].
> > Genau dieses hatten wir bei der Kontraposition zeigen.
> > (Beachte bei dem Beweis zu 2.):
> > [mm]A \Rightarrow B[/mm]
> > [mm]\gdw[/mm]
> > [mm]\mbox{nicht } B \Rightarrow \mbox{nicht }A[/mm] )
>
>
> Dieses 1/n stört mich zum Beispiel auch schon, wieder....
Wieso? Ich meine, im Prinzip wendet man die Verneinung der glm. Stetigkeit dann für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\delta:=\delta_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] an, wobei wir nur beachten müssen, dass [mm] $\frac{1}{n}> [/mm] 0$ stets gilt.
Also:
$n=1$: Wir finden passende [mm] $a_1, b_1$ [/mm] mit [mm] $|a_1-b_1|<\frac{1}{1}$ [/mm] und so, dass [mm] $|f(a_1)-f(b_1)| \ge \varepsilon_0$. [/mm]
$n=2$: Wir finden passende [mm] $a_2, b_2$ [/mm] mit [mm] $|a_2-b_2|<\frac{1}{2}$ [/mm] und so, dass [mm] $|f(a_2)-f(b_2)| \ge \varepsilon_0$.
[/mm]
$n=3$: Wir finden passende [mm] $a_3, b_3$ [/mm] mit [mm] $|a_3-b_3|<\frac{1}{3}$ [/mm] und so, dass [mm] $|f(a_3)-f(b_3)| \ge \varepsilon_0$.
[/mm]
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$n=k$: Wir finden passende [mm] $a_k, b_k$ [/mm] mit [mm] $|a_k-b_k|<\frac{1}{k}$ [/mm] und so, dass [mm] $|f(a_k)-f(b_k)| \ge \varepsilon_0$. [/mm] ($k [mm] \in \IN$)
[/mm]
.
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So kann man für jedes $n$ argumentieren, indem man zudem für jedes $n$ dann [mm] $\delta=\frac{1}{n} [/mm] > 0$ wählt und beachtet, dass die Existenz solcher [mm] $a_n, b_n$ [/mm] eben deshalb gesichert ist, weil hier $f$ nach Voraussetzung NICHT glm. stetig ist.
Also mittels der Eigenschaft, dass hier $f$ nicht glm. stetig ist, konstruieren wir so passende Folgen [mm] $(a_n)_n$, $(b_n)_n$, [/mm] so dass die Aussage $S$ falsch ist, so dass also [mm] $\mbox{nicht }S$ [/mm] gilt.
Nach Voraussetzung war in diesem Beweisschritt $f$ nicht glm. stetig, also war [mm] $\mbox{nicht R}$ [/mm] hier als wahr vorausgesetzt, und wir haben so gezeigt, dass dann auch [mm] $\mbox{nicht }S$ [/mm] gelten muss. Das ist die Kontraposition von $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$.
Die Kontraposition von $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$ ist also bewiesen worden. Diese ist aber aussagenlogisch äquivalent zu $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$, also haben wir hier $S [mm] \Rightarrow [/mm] R$ bewiesen.
Gruß,
Marcel
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