Gleichmaessige stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mo 10.01.2005 | | Autor: | hallo |
hallo,
ich hoffe es kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich hab auch schon selber versucht, den beweis durchzufuehren, aber irgendwie komm ich nicht weiter.
Es ist gegeben: f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{x}{1+ x^{2}}
[/mm]
man soll zunaechst zeigen, dass fuer alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt:
(1+ [mm] x^{2})(1+ y^{2}) \ge [/mm] 1 + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}
[/mm]
ich hab die linke seite augerechnet, dann kuerz sich etwas auf der rechten und linken seite. uebrig bleibt bei mir dann: [mm] (xy)^{2} \ge [/mm] 0
Stimmt das? Etwas im Qudrat ist ja immer positv.
dann sollte ich zeigen, dass [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \ge [/mm] |xy |
Wie zeigt man das? Ich weiss nicht, wie man den betrag aufloest.
Dann sollte man nach dieser Vorarbeit zeigen, dass f gleichmaessig stetig ist. Da ich das mit den betragstrichen nicht loesen kann, komm ich bei dem beweis auch nicht weiter.
Die def. von der glm. stetigkeit lautet ja: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR: [/mm] ( | x - y | < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] | f(x) - f(y) | < [mm] \varepsilon)
[/mm]
ich hab | x - y | < [mm] \delta [/mm] gesetzt und | f(x) - f(y) | berechnet, indem ich den oben angegeben bruch eingesetzt habe.
bis dahin: | f(x) - f(y) | =...........= [mm] \bruch{x+x y^{2}-y+y x^{2}}{1+ x^{2}+ y^{2}} \le \bruch{x+x y^{2}-y+y x^{2}}{1+ |xy |}
[/mm]
jetzt komm ich nicht mehr weiter, so dass alles kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Viele Gruesse und danke.
hallo
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* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Es ist gegeben: f: $ [mm] \IR \to \IR, [/mm] $ f(x) = $ [mm] \bruch{x}{1+ x^{2}} [/mm] $
> man soll zunaechst zeigen, dass fuer alle x,y $ [mm] \in \IR [/mm] $ gilt:
> (1+ $ [mm] x^{2})(1+ y^{2}) \ge [/mm] $ 1 + $ [mm] x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2} [/mm] $
> ich hab die linke seite augerechnet, dann kuerz sich etwas auf der rechten und linken seite. uebrig bleibt bei mir dann: $ [mm] (xy)^{2} \ge [/mm] $ 0
> Stimmt das? Etwas im Qudrat ist ja immer positv.
Das ist genau richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
> dann sollte ich zeigen, dass $ [mm] x^{2} [/mm] $ + $ [mm] y^{2} \ge [/mm] $ |xy |
> Wie zeigt man das? Ich weiss nicht, wie man den betrag aufloest.
Mache dir zu Nutzen, dass [mm] $x^2=|x|^2$ [/mm] und [mm] $2|xy|\geq [/mm] |xy|$ gilt.
Klingelt's?
Für den Rest habe ich jetzt leider keine Zeit mehr, die Musik ruft  Vielleicht findet sich in der Zwischenzeit jemand anderes, ansonsten helfe ich dir soweit ich kann heute Abend.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 10.01.2005 | | Autor: | hallo |
hallo,
danke für deine Hilfe. Aber leider versteh ich nicht, was du meinst bei den betragstrichen.... Kannst du oder ein anderer Hilfsbereiter es mir bitte anders erklären? Das wäre nett... ich steh nämlich grad voll auf der leitung.
Ich hoffe, es kann mir auch jemand bei dem beweis weiter helfen....
Danke, Hallo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo "hallo"!
Na klar, ich schreibe dir einfach mal auf, wie ich das gemeint habe:
Es gilt [mm] $x^2=|x|^2$ [/mm] und [mm] $2|xy|\geq [/mm] |xy|$. Der Beweis erfolgt nun durch Umformen einer offensichtlich gültigen Ungleichung:
$ [mm] (|x|-|y|)^2\geq [/mm] 0$
[mm] $\gdw |x|-2|xy|+|y|^2\geq [/mm] 0$
[mm] $\gdw|x|^2+|y|^2\geq [/mm] 2|xy|$
[mm] $\Rightarrow |x|^2+|y|^2=x^2+y^2\geq [/mm] |xy|$
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:17 Di 11.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo,
danke erstmal für deine Hilfe.
ich hab jetzt nur noch ein Problem beim beweis der gleichmäßigen stetigkeit. Ich hab einfach mal so weiter gemacht:
| f(x) - f(y) | =...........= | [mm] \bruch{x+x y^{2}-y-y x^{2}}{(1+ x^{2}) (1+ y^{2})} \le [/mm] | [mm] \bruch{x+x y^{2}-y-y x^{2}}{1+ x^{2}+
y^{2}}| \le [/mm] | bruch{x+x [mm] y^{2}-y-y x^{2}}{1+ |xy|}| \le [/mm] |x+x [mm] y^{2}-y-y x^{2}| \le [/mm] |x-y| < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
Also setze ich [mm] \delta =\varepsilon. [/mm]
Stimmt der Beweis?
Wenn nicht bitte ich um Korrektur.
Danke Hallo
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