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Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Di 06.01.2009
Autor: MisterWong

Aufgabe
Zeige dass die GLeichung

[mm] \bruch{1}{1 + 2^x} [/mm] = [mm] \wurzel{x} [/mm]

in [0, 1] eine Lösung hat.

Hallo.

Ich komm bei dieser Aufgabe einfach auf keine Lösung.

Wie fängt man denn da am besten an?
Muss man irgendwie arbeiten mit [mm] 2^x [/mm] = exp (x log 2)?

        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Di 06.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo MisterWong,

> Zeige dass die GLeichung
>
> [mm]\bruch{1}{1 + 2^x}[/mm] = [mm]\wurzel{x}[/mm]
>  
> in [0, 1] eine Lösung hat.
>  Hallo.
>  
> Ich komm bei dieser Aufgabe einfach auf keine Lösung.
>
> Wie fängt man denn da am besten an?
>  Muss man irgendwie arbeiten mit [mm]2^x[/mm] = exp (x log 2)?

Ich nehme an, ihr habt im Moment den Themenbereich Stetigkeit und Zwischenwertsatz?

Damit geht es flott

Definiere dir [mm] $f(x):=\frac{1}{1+2^x}-\sqrt{x}$ [/mm]

$f$ ist als Zusammensetzung von auf $[0,1]$ stetigen Funktionen selbst auf $[0,1]$ stetig

Schaue dir mal $f(0)$ und $f(1)$ an und wirf einen scharfen Blick auf den ZWS

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Di 06.01.2009
Autor: MisterWong

OK, mein Fehler war dann, dass ich eine Lösung gesucht habe, und nicht danach geschaut habe, ob es überhauot eine gibt.

Lösung:
da f(0)>0 und f(1)<0 ex. laut Zwischenwertsatz eine NS von f(x). Die Lösung wäre dann [mm] f^{-1}(0) [/mm] = x.
Muss ich dann nicht noch zeigen dass f(x) stetig ist?

Bezug
                        
Bezug
Gleichung: Anmerkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Di 06.01.2009
Autor: Roadrunner

Hallo MisterWong!



>  Muss ich dann nicht noch zeigen dass f(x) stetig ist?

[ok] Zumindest erwähnen solltest Du es, da dies eine Bedingung des ZWS ist.

Aber als Komposition aus verschiedenen stetigen Teilfunktionen folgt dies auch für f(x).


Gruß vom
Roadrunner


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