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Gleichung: Lösen Sie nach z auf
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mi 07.03.2012
Autor: mbau16

Aufgabe
Lösen Sie folgende Gleichung nach z auf:

[mm] -\bruch{z-3}{4-2z}=\bruch{27z-56}{z^{3}-2z^{2}} [/mm]

Guten Abend,

folgende Gleichung beschäftigt mich gerade. Muss auf eine quadratische Gleichung kommen. Es gibt einen "Trick", den ich nicht sehe.

[mm] -\bruch{z-3}{4-2z}=\bruch{27z-56}{z^{3}-2z^{2}} [/mm]

[mm] \bruch{27z-56}{z^{3}-2z^{2}}+\bruch{z-3}{4-2z}=0 [/mm]

[mm] \bruch{(27z-56)(4-2z)}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}+\bruch{(z-3)(z^{3}-2z^{2})}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}=0 [/mm]

[mm] \bruch{108z-54z^{2}-224+112z}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}+\bruch{z^{4}-2z^{3}-3z^{3}+6z^{2}}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}=0 [/mm]

[mm] \bruch{z^{4}-5z^{3}-48z^{2}+220z-224}{-2z^{4}+8z^{3}-8z^{2}}=0 [/mm]

[mm] z^{4}-5z^{3}-48z^{2}+220z-224=0 [/mm]

Hier muss ein Fehler vorliegen! Könnt Ihr bitte mal schauen, ob Ihr Ihn seht!

Vielen Dank!

Gruß

mbau16


        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Mi 07.03.2012
Autor: Diophant

Hallo,

zunächst mal: deine Rechnung ist bis zu der Stelle, an der es stockt, richtig.

Solche Gleichungen sind ja wirklich immer etwas fies, man sollte ja eigentlich schon wissen, dass die Lösungen ganzzahlig sind. Wenn ich ehrlich bin, ich habe sie erstmal ins CAS reingehauen.

Das nun brachte mich auf die Idee, irgendwie [mm] (x-2)^2=x^2-4x+4 [/mm] abszuspalten:

Und siehe da:

[mm] z^4-5z^3-48z^2+220z-224 [/mm]

[mm] =z^4-4z^3+4z^2-z^3-52z^2+220z-224 [/mm]

[mm] =z^2*(z-2)^2-z^3+4z^2-4z-56z^2+224z-224 [/mm]

[mm] =z^2*(z-2)^2-z*(z-2)^2-56*(z-2)^2 [/mm]

[mm] =(z^2-z-56)*(z-2)^2 [/mm]

und daraus gewinnt man vier reelle Lösungen.

Aber ganz ehrlich: da wäre ich ohne elektronische Helfer auch nicht so schnell draufgekommen. :-)

Gruß, Diophant

PS: Wie stehts mit den Partialbrüchen? ;-)

Bezug
                
Bezug
Gleichung: An Diophant
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Mi 07.03.2012
Autor: mbau16

Guten Abend,

danke, dass Du Dir die Mühe gemacht hast. Oh man, wie soll ich denn in der Klausur darauf kommen. Das war nur ne Probeklausur.

Partialbrüche laufen. Nur die komplexe Variante klär am Freitag nochmal ab.

Tolles Forum, hilft unglaublich.

Gruß

mbau16





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Bezug
Gleichung: Tipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:17 Mi 07.03.2012
Autor: Diophant

Hallo mbau16,

noch ein Tipp auf die Schnelle:

wenn in einer algebraischen Gleichung sämtliche Koeffizienten ganz sind, dann kann man alle Teiler des Absolutgliedes als Lösungen ausprobieren. Hier ist

[mm] 224=2^5*7 [/mm]

Da stecken natürlich auch Möglichkeiten drin, die keine Lösungen der Gleichung sind. Aber wenn man mal klein anfängt, dann hat man [mm] z_1=2, [/mm] die 4 geht nicht, mit [mm] z_2=-7 [/mm] dann schon die nächste Lösung und dann ist das Polynom ja auch schon nur noch quadratisch. Das soll dann wohl in der Klausur so gemacht werden; ich war grade auch zu faul dazu. ;-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Mi 07.03.2012
Autor: mbau16

Hallo!

Nochmal eine Frage!

> noch ein Tipp auf die Schnelle:
>  
> wenn in einer algebraischen Gleichung sämtliche
> Koeffizienten ganz sind, dann kann man alle Teiler des
> Absolutgliedes als Lösungen ausprobieren. Hier ist
>  
> [mm]224=2^5*7[/mm]
>  
> Da stecken natürlich auch Möglichkeiten drin, die keine
> Lösungen der Gleichung sind. Aber wenn man mal klein
> anfängt, dann hat man [mm]z_1=2,[/mm] die 4 geht nicht, mit [mm]z_2=7[/mm]
> dann schon die nächste Lösung und dann ist das Polynom ja
> auch schon nur noch quadratisch. Das soll dann wohl in der
> Klausur so gemacht werden; ich war grade auch zu faul dazu.
> ;-)

Das hört sich gut an, klingt auf jeden Fall deutlich einfacher für mich. Könntest Du das mal bitte bis zur quadratischen Gleichung vormachen? So ganz hab ich das noch nicht verstanden.

Was mach ich dann mit [mm] 224=2^5*7? [/mm]

Vielen Dank!

Gruß

mbau16

Bezug
                                        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Mi 07.03.2012
Autor: Steffi21

Hallo, du hast

[mm] 0=z^4-5z^3-48z^2+220z-224 [/mm]

durch "erraten" hast du [mm] z_1=2 [/mm]

[mm] (z^4-5z^3-48z^2+220z-224):(z-2)=z^3-3z^2-54z+112 [/mm]

durch "erraten" hast du [mm] z_2=-7 [/mm]

[mm] (z^3-3z^2-54z+112):(z+7)=z^2-10z+16 [/mm]

Steffi



Bezug
                                                
Bezug
Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Do 08.03.2012
Autor: mbau16

Guten Morgen, nochmal eine Frage zu diesem thread.

> Hallo, du hast
>  
> [mm]0=z^4-5z^3-48z^2+220z-224[/mm]
>  
> durch "erraten" hast du [mm]z_1=2[/mm]
>  
> [mm](z^4-5z^3-48z^2+220z-224):(z-2)=z^3-3z^2-54z+112[/mm]
>  
> durch "erraten" hast du [mm]z_2=-7[/mm]
>  
> [mm](z^3-3z^2-54z+112):(z+7)=z^2-10z+16[/mm]
>  
> Steffi

  
Das Absolutglied ist 224. Also [mm] 2^{5}*7. [/mm] Aber was bringt mir das in Bezug auf die Vorgehensweise in diesem thread?

Vielleicht wisst Ihr mehr.

Vielen Dank!

Gruß

mbau16  


Bezug
                                                        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Do 08.03.2012
Autor: Diophant

Hallo,

das sog. []Lemma von Gauß sagt uns im Prinzip, dass jede ganzzahlige Nullstelle eines ganzzahligen, normierten Polynoms das Absolutglied teilt.

Ganzzahlig heißt für ein Polynom - wie schon gesagt - dass seine Koeefizienten aus [mm] \IZ [/mm] sind. Normiert bedeutet hier, dass der Koeffizient der höchsten Potenz gleich 1 ist.

Beide Kriterien werden von deiner Gleichung erfüllt. Von daher müssen alle ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung die Zahl 224 teilen. Da deren Primfaktorzewrlegung glücklicherweise nur aus zwei Primzahlpotenzen besteht, kann man die möglichen Kandidaten in endlicher Zeit durchprobieren. :-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                
Bezug
Gleichung: Dank an alle Beteiligten!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:36 Do 08.03.2012
Autor: mbau16

Danke nochmal für die gute und schnelle Hilfe!

Gruß

mbau16

Bezug
                                                                        
Bezug
Gleichung: Wichtiger Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Do 08.03.2012
Autor: Diophant

Hallo,

noch ein Nachtrag: die ursprüngliche Gleichung ist eine Bruchgleichung. Sie enthält in jedem Nenner jeweils einmal die Nullstelle x=2.

Die Doppellösung [mm] x_{1,2}=2 [/mm] kam malso erst durch die Multiplikation mit den beiden Nennern hinzu und die Lösungsmenge für die ursprüngliche Gleichung lautet:

[mm] \IL=[/mm] [mm]\left \{ -7;8 \right \}[/mm]

Wir hätten undere Betrachtung damit beginnen sollen, eine Definitionsmenge für die Bruchgleichung auszustellen, nämlich

[mm] D=\IR\setminus\left\{2\right\} [/mm]

Beachte das unbedingt in der Klausur! Ich habe es ehrlich gesagt auch vergessen dazuzusagen.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                
Bezug
Gleichung: Jo Danke, mach ich!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 Do 08.03.2012
Autor: mbau16

Danke für den Tipp!

Ich werde es beachten.

Gruß

mbau16

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