Gleichung 3. Grades - Graph < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 08.09.2006 | | Autor: | sz1506 |
| Aufgabe | 2x³ - 9x² = 0
Nullstellen berechnen, Wendepunkte und Extrempunkte
Graphen skizzieren |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe Probleme mit dem Graphen der Gleichung 2x³ - 9x² = 0. Die Nullstellen habe ich bei 0 und 4,5 errechnet. Wenn ich jetzt aber z.B. -4,5 für x einsetzte bekomme ich -364,5 für y... Wie soll man diesen Wert bitte in einem Koordinatensystem eintragen? Wie sollte der Graph aussehen? Ich bekomme für alle niedrigen x-Werte extrem hohe y-Werte raus (außer bei x = 4,5, da ist y = 0), weiß nicht, wie ich das skizzieren soll. Möchte außerdem Wendepunkte und Extrempunkte berechnen, komme aber auch hier nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Fr 08.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Habe Probleme mit dem Graphen der Gleichung 2x³ - 9x² = 0.
> Die Nullstellen habe ich bei 0 und 4,5 errechnet. Wenn ich
> jetzt aber z.B. -4,5 für x einsetzte bekomme ich -364,5 für
> y... Wie soll man diesen Wert bitte in einem
> Koordinatensystem eintragen? Wie sollte der Graph aussehen?
> Ich bekomme für alle niedrigen x-Werte extrem hohe y-Werte
> raus (außer bei x = 4,5, da ist y = 0), weiß nicht, wie ich
> das skizzieren soll. Möchte außerdem Wendepunkte und
> Extrempunkte berechnen, komme aber auch hier nicht weiter.
> Kann mir jemand helfen? Vielen Dank!
Zuerst mal der Form halber: 2x³ - 9x² = 0 ist keine Funktion, ich denke du meist f(x) = 2x³-9x²
> Nullstellen berechnen,
Hier gilt: [mm] 2x_{0}³ [/mm] - [mm] 9x_{0}² [/mm] = 0
[mm] \gdw x_{0}² (2x_{0} [/mm] -1)
[mm] \Rightarrow x_{0_{1;2}} [/mm] = 0 (0 ist doppelte Nullstelle)
[mm] x_{0_{3}} [/mm] = 4,5, wie du korrekterweise berechnet hast.
> Wendepunkte und Extrempunkte
Fangen wir mit den Extrema an:
f'(x) = 6x² -18x
Also gilt für die Extremstellen [mm] x_{e}:
[/mm]
0 = [mm] 6x_{e}² [/mm] - [mm] 18x_{e} \Rightarrow x_{e_{1}} [/mm] = 0, [mm] x_{e_{2}} [/mm] = 3.
Ob das Minima oder Maxima, kannst du selber prüfen.
Ist f''(0) > 0, ist (0;f(0)) ein Tiefpunkt,
Ist f''(0) < 0, ist (0;f(0)) ein Hochpunkt
Ist f''(3) > 0, ist (3;f(3)) ein Tiefpunkt,
Ist f''(3) < 0, ist (0;f(0)) ein Hochpunkt
Wendestellen:
f''(x) = 12x-18 [mm] \Rightarrow x_{w} [/mm] = [mm] \bruch{18}{12} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Gilt [mm] f'''(\bruch{3}{2}) \not= [/mm] 0, so ist [mm] (\bruch{3}{2}; f(\bruch{3}{2})) [/mm] ein Wendepunkt.
> Graphen skizzieren
Der Graph ist tatsächlich sehr steil und für kleine x-Werte entstehen hohe y-Werte. Aber das kannst du beheben, indem du die y-Achse anders skalierst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft das weiter?
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Fr 08.09.2006 | | Autor: | sz1506 |
Hallo Marius,
vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort, hat mir schon sehr geholfen. In meinem Studienheft steht leider nur, dass es Extrem- und Wendepunkte gibt, aber nicht, wie man diese errechnet. Ich kann das immer nur anhand des skizzierten Graphen ablesen.
Wie komme ich auf die Ausgangsgleichung 6x² - 18 = 0 bei den Extrempunkten und auf 12x - 18 beim Wendepunkt? Und müsste der Wendepunkt nicht (3/2 / MINUS 3/2) lauten?
Danke!
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Hi, sz,
> f(x) = 2x³ - 9x²
> Hallo Marius,
> vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort, hat mir
> schon sehr geholfen. In meinem Studienheft steht leider
> nur, dass es Extrem- und Wendepunkte gibt, aber nicht, wie
> man diese errechnet. Ich kann das immer nur anhand des
> skizzierten Graphen ablesen.
> Wie komme ich auf die Ausgangsgleichung 6x² - 18 = 0 bei
> den Extrempunkten
Du musst die 1. Ableitung Deines Funktionsterms ausrechnen und diese = 0 setzen!
> und auf 12x - 18 beim Wendepunkt?
Beim Wendepunkt ist es die 2. Ableitung, die Du = 0 setzen musst!
> Und müsste der Wendepunkt nicht (3/2 / MINUS 3/2) lauten?
Da hast Du Recht! M.Rex hat einen kleinen Leichtsinnsfehler "eingebaut"!
> Danke!
Alles klar!
PS: Wie man ABLEITUNGEN berechnet, weißt Du aber schon?
Wenn nicht, dann schau Dir hier
![[]](/images/popup.gif) http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/formeln/formelnh.htm
mal die wichtigsten Regeln an!
mfG!
Zwerglein
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