Gleichung Funktion 3. Grades < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des vorliegenden Graphen. Es ist eine Funktion dritten Grades. |
Hallo,
ich habe das Problem, dass ich einen Graphen dritten Grades vorliegen habe, aber nicht weiß wie ich die Funktionsgleichung bestimmen kann.
Hier habe ich eine Erklärung dazu gefunden: ![[]](/images/popup.gif) http://www.iks-mathephysik.de/upload/dott/Funktionsgleichungen.pdf(Seite 2)
Ich verstehe aber nicht, wie sie die Gleichungen mit den 4 Unbekannten aufgelöst haben und dann auf das Ergebnis kommen. Wenn ich das in den Taschenrechner eintippe, kommt nichts vernünftiges raus. Könnt ihr mir das erklären?
Gruß
CrazyBlue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo CrazyBlue,
Du hast also eine Funktionsgleichung der Form [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.
[/mm]
Aus dem Graphen musst du jetzt vier verschiedene Informationen rauslesen. Das können bestimmte Punkte sein, durch die der Graph verläuft oder Hoch-/Tiefpunkte oder Wendepunkte.
- Kannst du etwa ablesen, dass der Graph durch den Punkt (2,1) geht, setzt du ein: [mm] $f(2)=a*2^3+b*2^2+c*2+d=1$
[/mm]
- Gibt es einen Hochpunkt bei (0,1) musst du die erste Ableitung betrachten, denn es gilt dann [mm] $f^\prime(0)=1$. [/mm] Du rechnest also: [mm] $f^\prime(x)=3*ax^2+2*bx+c$ $\Rightarrow$ $f^\prime(0)=c=1$
[/mm]
- Bei Wendepunkten musst du die zweite Ableitung betrachten.
So bekommst du schließlich 4 verschiedene (!) Gleichungen und kannst daraus die 4 Unbekannten bestimmen. Sollten zwei Gleichungen identisch sein, musst dir eben noch eine andere suchen.
Schreib hier doch mal ein paar charakteristische Punkte deines Graphen rein und versuche die zugehörigen Gleichungen aufzustellen.
Lieben Gruß,
Fulla
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Also meine vier Informationen über den Graphen sind:
1. Nullstelle f(0)=0
2. Nullstelle f(-1)=0
3. Nullstelle f(1)=0
4. Wendepunkt (0/0)
Meine Gleichungen:
1. d=0
2. -a+b-c=0
3. a+b+c=0
4. f"(x)= 6ax+2 <- das verstehe ich nicht, wie muss ich den Wendepunkt denn da einfügen? Da kommt dann doch keine Gleichung mit einer Unbekannten raus.
Wenn ich jetzt die 4 Gleichungen hätte, dann wüsste ich aber trotzdem nicht wie es weiter geht. Wie löse ich die denn dann auf?
Gruß CrazyBlue
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Beim WendePunkt ist die 2. Ableitung Null also hast du:
f"(0)=0
und
f"(x)=6ax+2b
folglich:
2b=0
Nun hast du 4 gleichung und 4 Unbekannte. Wobei b=d=0. Also hast du hier nurnoch 2 Unbekannte und genau 2 Gleichngen. Also gibt es genau eine lösung die durch cleveres Umformen erhölst.
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Also habe ich nur noch diese beiden Formeln:
-a+b-c=0
a+b+c=0
wobei b=0 ist, also kann ich schreiben:
-a-c=0
a+c=0
oder?
Aber ich verstehe nicht wie ich da jetzt auf eine Lösung kommen soll bzw. was ich wie umformen muss. Darin liegt mein Problem.
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> Also habe ich nur noch diese beiden Formeln:
>
> -a+b-c=0
> a+b+c=0
>
> wobei b=0 ist, also kann ich schreiben:
>
> -a-c=0
> a+c=0
>
> oder?
>
> Aber ich verstehe nicht wie ich da jetzt auf eine Lösung
> kommen soll bzw. was ich wie umformen muss. Darin liegt
> mein Problem.
Diese beiden Gleichungen sind äquivalent, das heißt du kannst auch gern nur eine davon betrachten.
Also es muss gelten:
a+c=0
also:
c = -a
Weiterhin, damit du wirklich eine Funktion dritten Grades hast, muss $a [mm] \not= [/mm] 0$ gelten.
Also wähle a beliebig, berechne c entsprechend und du hast eine (von vielen möglichen) Funktionen.
Wenn es wirklich eine (eindeutige) Funktionsgleichung sein soll brauchst du noch ein paar mehr Infos. ;)
MfG
Schadowmaster
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Ah, okay. Bis dahin habe ich es jetzt verstanden.
Im Unterricht hatten wir auch die Formel a=-c, aber den Schritt danach verstehe ich nicht, wir haben dann geschrieben:
f(x)= ax(^3)-ax
-> ich glaube das verstehe ich noch, da a=-c kommt diese Formel zustande und das [mm] bx^2 [/mm] sowie das d wird weggelassen, weil b=d=0, richtig?
dann haben wir die erste Ableitung davon gebildet und für a=1 eingesetzt um die Extremstellen zu errechnen.
f'(x)= 3ax(^2) - a = 0
f'(1)=3x(^2) - 1 = 0
aber wozu braucht man die Extremstellen?
Und was mache ich dann, wenn ich die Extremstellen habe?
Entschuldigung, für die vielen Fragen, aber ich hoffe ihr könnt mir trotzdem weiter helfen.
Vielen Dank schonmal!
Gruß CrazyBlue
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Ah, okay. Bis dahin habe ich es jetzt verstanden.
>
> Im Unterricht hatten wir auch die Formel a=-c, aber den
> Schritt danach verstehe ich nicht, wir haben dann
> geschrieben:
>
> f(x)= ax(^3)-ax
>
> -> ich glaube das verstehe ich noch, da a=-c kommt diese
> Formel zustande und das [mm]bx^2[/mm] sowie das d wird weggelassen,
> weil b=d=0, richtig?
So ist es.
>
> dann haben wir die erste Ableitung davon gebildet und für
> a=1 eingesetzt um die Extremstellen zu errechnen.
Warum das? Das macht so keinen Sinn.
>
> f'(x)= 3ax(^2) - a = 0
> f'(1)=3x(^2) - 1 = 0
>
> aber wozu braucht man die Extremstellen?
Für die Vierte Bedingung die du noch braucsht, um die Funktion zu bestimmen, das ist ein klassischer Vertreter der  Steckbriefaufgaben.
> Und was mache ich dann, wenn ich die Extremstellen habe?
die vierte noch nötige Gleichung ermitteln.
>
> Entschuldigung, für die vielen Fragen, aber ich hoffe ihr
> könnt mir trotzdem weiter helfen.
>
> Vielen Dank schonmal!
>
Marius
> Gruß CrazyBlue
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Also wir haben die x-Werte der Extremstellen mit f'(x)= [mm] 3ax^2 [/mm] - a = 0 (für a haben wir 1 eingesetzt) errechnet. Da kam dann 0,57 und - 0,57 heraus.
Dann haben zu diesen x-Werte die zugehörigen y-Werte von der Funktion f(x)= ax(^3) - ax errechnet. Dann haben wir die Extremstellen (- 0.57/0.38) und (0.57/-0.38) bekommen.
Das sind die Extremstellen der Funktion f(x)= [mm] x^3-x, [/mm] aber nicht von der Funktion die wir suchen. Da wir nun ablesen können, dass die Extremstellen bei (0.57/-1) und (-0.57/1) liegen.
Der nächste Schritt ist dann:
a * 0,38 = 1
und diese Gleichung aufgelöst, das Ergebnis ist 2,598
Somit haben wir dann die Formel F = [mm] 2,598(x^3-x).
[/mm]
Beim letzten Schritt verstehe ich aber nicht, wie man darauf die Gleichung a * 0,38 = 1 kommt.
Ist diese Schrittfolge eher untypisch oder kann man das bei den normalen Formeln immer so machen?
Gruß CrazyBlue
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also wir haben die x-Werte der Extremstellen mit f'(x)=
> [mm]3ax^2[/mm] - a = 0 (für a haben wir 1 eingesetzt) errechnet. Da
> kam dann 0,57 und - 0,57 heraus.
Woher habt ihr a=1?
>
> Dann haben zu diesen x-Werte die zugehörigen y-Werte von
> der Funktion f(x)= ax(^3) - ax errechnet. Dann haben wir
> die Extremstellen (- 0.57/0.38) und (0.57/-0.38) bekommen.
>
> Das sind die Extremstellen der Funktion f(x)= [mm]x^3-x,[/mm] aber
> nicht von der Funktion die wir suchen. Da wir nun ablesen
> können, dass die Extremstellen bei (0.57/-1) und (-0.57/1)
> liegen.
Den Schritt verstehe ich nicht.
>
> Der nächste Schritt ist dann:
>
> a * 0,38 = 1
>
> und diese Gleichung aufgelöst, das Ergebnis ist 2,598
Das ist doch ein Wiederspruch zu a=1 von oben!
>
> Somit haben wir dann die Formel F = [mm]2,598(x^3-x).[/mm]
>
>
> Beim letzten Schritt verstehe ich aber nicht, wie man
> darauf die Gleichung a * 0,38 = 1 kommt.
Ich auch nicht.
>
> Ist diese Schrittfolge eher untypisch oder kann man das bei
> den normalen Formeln immer so machen?
Welche normalen Formeln? Die Schrittfolge ist meiner Meinung nach nich nur untypisch, sodern auch unsinnig, weil ´überhaupt nicht nachwollziehbar.
Schau dir mal den Link zu Steckbriefaufgaben aus meiner anderen Antwort an, das ist die übliche Vorgehensweise. Stelle also die benötigten Gleicungen auf, und löse dann das entstehende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus.
>
> Gruß CrazyBlue
>
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 So 18.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Also meine vier Informationen über den Graphen sind:
> 1. Nullstelle f(0)=0
> 2. Nullstelle f(-1)=0
> 3. Nullstelle f(1)=0
> 4. Wendepunkt (0/0)
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> Meine Gleichungen:
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> 1. d=0
> 2. -a+b-c=0
> 3. a+b+c=0
> 4. f"(x)= 6ax+2 <- das verstehe ich nicht, wie muss ich
> den Wendepunkt denn da einfügen? Da kommt dann doch keine
> Gleichung mit einer Unbekannten raus.
Hallo,
du hast gerade selbst geschrieben, dass (0|0) ein Wendepunkt ist,
Das heißt, dass DORT (also an der Stelle x=0) die zweite Ableitung Null sein muss.
Du benötigst also nicht allgemein
4. f"(x)= 6ax+2
sondern konkret
f''(0)=6*a*0+2=0
Das kann allerdings nicht sein, denn 2 [mm] \ne [/mm] 0.
Hast du eventuell "Wendepunkt" mit "Extrempunkt" verwechselt?
Gruß Abakus
>
> Wenn ich jetzt die 4 Gleichungen hätte, dann wüsste ich
> aber trotzdem nicht wie es weiter geht. Wie löse ich die
> denn dann auf?
>
> Gruß CrazyBlue
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