Gleichung Nullstellen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 20.08.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | [mm] 3x^7+17x^4+8x^3+200x+77=0 [/mm] |
Mich würde es interessieren wie ich bei solchen Gleichungen sofort erkennen kann, ob sie eine Lösung [mm] x\in\IZ [/mm] besitzt oder nicht.
Ich habe diese Gleichung bereits geplottet und habe festgestellt, dass sie keine ganze Lösung besitzt, nur eine kurze formale Erklärung würde mich interessieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mo 20.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
es reicht zu schauen, ob die Teiler von 77 bzw. des konstanten teils Nullstellen des Polynoms sind.
Allgemein kannst du ja mal diesen Satz beweisen:
Sei [mm] P = \summe_{i=0}^{n}a_iX^{i} \in \IZ[x] [/mm] ein Polynom mit [mm]a_n \neq 0 [/mm]. Ist [mm] \frac{p}{q} [/mm] ein rationale Nullstelle von P und sind p und q teilerfremde ganze Zahlen, dann gilt q | [mm] a_n [/mm] und p | [mm] a_n.
[/mm]
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 21.08.2012 | | Autor: | kalifat |
Danke für deine Antwort, ich hätte es jetzt noch mit folgendem Ansatz probiert:
[mm] 3x^7+17x^4+8x^3+200x+77=0
[/mm]
=> [mm] 3x^7+17x^4+8x^3+200x+77\equiv0 [/mm] mod 2
=> [mm] x^7+x^4+1\equiv0 [/mm] (2)
Jetzt muss ich nur die Werte 0,1 überprüfen, [mm] 0+0+1\not\equiv0 [/mm] (2) und [mm] 1+1+1\not\equiv0 [/mm] (2) , daher Gleichung in Z unlösbar.
Genügt es nur Modulo 2 zu betrachten? Oder habe ich hierbei etwas übersehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 21.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
das stimmt so nicht. Du hast jetzt zwar gezeigt, dass dein Polynom P in [mm] \IF_2 [/mm] keine Nullstellen besitzt, deswegen ist es aber noch nicht irreduzibel. Du weißt jetzt nur, dass P keine Linearfaktoren mit Grad 1 und 6 besitzt. Nun musst du, solltest du diesen Weg weiter verfolgen wollen, nun alle irreduziblen Polynome in [mm] \IF_2[x] [/mm] vom Grad 2,3,4,5 finden, und zeigen, dass sich P nicht als Linearkombination dieser Polynome schreiben lässt. Ist aber viel zu umständlich! Den Satz den du vlt. im Kopf hast. Ist R ein Integritätsbereich. Hat ein Polynom f vom Grad 2 oder 3 in R[x] keine Nullstelle, so ist f irreduzibel.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Di 21.08.2012 | | Autor: | kalifat |
Ich dachte, wenn das Reduktionskriterium angewendet wird (http://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom#Beispiele ganz unten), so folgt die Irreduzibilität sofort
Mir ist übrigens noch etwas aufgefallen
Wenn [mm] a_n*x^n+...+a_0 [/mm] ein Polynom vom Grad n ist, dann scheint es unlösbar zu sein (also für [mm] x\in\IZ), [/mm] falls [mm] a_0 [/mm] ungerade ist und [mm] a_n+a_{n-1}+...*a_1+a_0 [/mm] ungerade ist.
Wie würdest du hier bei einem Beweis vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 21.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich dachte, wenn das Reduktionskriterium angewendet wird
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom#Beispiele
> ganz unten), so folgt die Irreduzibilität sofort
Nun, wenn das Polynom modulo 2 irreduzibel ist, dann auch ueber [mm] $\IZ$. [/mm] Wenn du bei einem Polynom von Grad 4 allerdings nur schaust, ob es modulo 2 keine Nullstellen hat, dann weisst du noch nicht, ob es modulo 2 irreduzibel ist.
> Mir ist übrigens noch etwas aufgefallen
>
> Wenn [mm]a_n*x^n+...+a_0[/mm] ein Polynom vom Grad n ist, dann
> scheint es unlösbar zu sein (also für [mm]x\in\IZ),[/mm] falls [mm]a_0[/mm]
> ungerade ist und [mm]a_n+a_{n-1}+...*a_1+a_0[/mm] ungerade ist.
>
> Wie würdest du hier bei einem Beweis vorgehen?
Modulo 2 anschauen. Gibt es in [mm] $\IZ$ [/mm] eine Nullstelle, dann auch modulo 2. Und wenn [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_n+\dots+a_0$ [/mm] ungerade sind, gibt es eben keine Nullstelle modulo 2.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 21.08.2012 | | Autor: | kalifat |
Wenn ich mir jetzt
[mm] a_n\cdot{}x^n+...+a_0\equiv0 [/mm] (2) anschaue, bin ich mir bei der Auflösung nicht ganz sicher.
Sei also [mm] a_0 [/mm] ungerade un die gesamte Summe [mm] a_n+...+a_0 [/mm] auch ungerade
=> [mm] a_n*x^n+...+a_1*x+1\equiv0 [/mm] (2). Nun könnte ich o.B.d.A meinen, dass die Summe [mm] a_1+...+a_n [/mm] gerade ist (davon eine gerade Anzahl an Werten gerade und eine ungerade Anzahl ungerade) => [mm] 1\equiv0 [/mm] (2) bzw. (ein ungerade [mm] Wert)\equiv0 [/mm] (2)
was falsch ist.
Nun ist doch das Polynom modulo 2 irreduzibel, daher auch über [mm] \IZ, [/mm] wäre das so richtig formuliert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Di 21.08.2012 | | Autor: | teo |
ja das stimmt schon, ich frage mich nur was dir das jetzt bringt? Außerdem kann modulo 2 betrachten ein [mm] a_i [/mm] gar nicht gerade sein, weil es ja dann sofort 0 ist. also sind ja die [mm] a_i [/mm] entweder 0 oder 1.
Aber wie gesagt, dass bringt dir nicht viel. Du siehst viel leichter und schneller ob ein Polynom ein Nullstelle hat, wenn du die Teiler des konstanten gliedes in die polynomfunktion einsetzt!
Überlege dir lieber mal warum diese aussage stimmt.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 21.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn ich mir jetzt
>
> [mm]a_n\cdot{}x^n+...+a_0\equiv0[/mm] (2) anschaue, bin ich mir bei
> der Auflösung nicht ganz sicher.
>
> Sei also [mm]a_0[/mm] ungerade un die gesamte Summe [mm]a_n+...+a_0[/mm] auch
> ungerade
>
> => [mm]a_n*x^n+...+a_1*x+1\equiv0[/mm] (2). Nun könnte ich o.B.d.A
> meinen, dass die Summe [mm]a_1+...+a_n[/mm] gerade ist (davon eine
Warum "o.B.d.A."? Du kannst nicht einfach irgendwas "o.B.d.A." machen ohne guten Grund!
Und was soll $x$ ueberhaupt sein? Eine Loesung in [mm] $\IZ$?
[/mm]
> gerade Anzahl an Werten gerade und eine ungerade Anzahl
> ungerade) => [mm]1\equiv0[/mm] (2) bzw. (ein ungerade [mm]Wert)\equiv0[/mm]
> (2)
Warum ist $1 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$?
[/mm]
> was falsch ist.
>
> Nun ist doch das Polynom modulo 2 irreduzibel, daher auch
> über [mm]\IZ,[/mm] wäre das so richtig formuliert?
Warum sollte es irreduzibel sein modulo $2$? Du hast allerhoechstens gezeigt, dass es modulo 2 keine Nullstellen hat. Das ist eine voellig andere Aussage!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 Di 21.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo,
> Warum sollte es irreduzibel sein modulo [mm]2[/mm]? Du hast
> allerhoechstens gezeigt, dass es modulo 2 keine Nullstellen
> hat. Das ist eine voellig andere Aussage!
Ja, klar.
Aber es ging doch um die Frage, ob das Polynom Nullstellen in [mm] \IZ [/mm] hat. Wenn es [mm] \mod{2} [/mm] keine Nullstellen hat, dann auch nicht in [mm] \IZ.
[/mm]
Insofern ist der Ansatz ja gut, nur hat er eben nichts mit Irreduzibilität zu tun.
So hat [mm] x^4+x^2+1 [/mm] ebenfalls keine Nullstelle [mm] \mod{2} [/mm] und also auch nicht in [mm] \IZ, [/mm] ist aber reduzibel: [mm] x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1).
[/mm]
Grüße
reverend
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