Gleichung auflösbar? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 So 27.12.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Ist die Gleichung [mm] x^{y}-y^{x}=0
[/mm]
in der Nähe von (e,e) bzw. (2,4) nach x bzw. y auflösbar?
Anleitung für den Fall (e,e):Studieren Sie die Funktion
g:(x,y) [mm] \mapsto [/mm] ylogx-xlogy auf Kreisen
[mm] K_{r}:= [/mm] { (x,y)|(x,y)=(e,e)+r(cost,sint) } für r>0 und achten Sie auf das Vorzeichen. |
Hallo,
welche "Werkzeuge"/Sätze/Themen sollte man beim Lösen der Aufgabe benutzen?
viele Grüße und guten Rutsch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 So 27.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
Satz über implizit definierte Funktionen, falls die Gleichung auflösbar ist.
Wenn es nicht auflösbar ist, so sei kreativ (oder verwende den Hinweis).
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Igor1 |
Wenn ich den Satz über implizite Funktionen auf die Aufgabe anwende, dann soll man erst prüfen,ob F(x,y):= [mm] x^{y}+y^{x}=0 [/mm] für (e,e) auch 0 ist
(was auch der Fall ist). Dann, wie ich verstehe, soll man prüfen, ob
die partielle Ableitung bzgl. y an der Stelle (e,e) invertierbar ist.
Diese partielle Ableitung ist : [mm] e^{ylnx} [/mm] *lnx - [mm] xy^{x-1}.
[/mm]
Wenn man hier (e,e) einsetzt, dann ist diese Gleichung gleich Null.
Nun, nach dem Satz über implizite Funktionen, ist die Frage , ob die partielle Ableitung an der Stelle (e,e) invertierbar ist.
Wie zeigt man, ob die partielle Ableitung an der Stelle (e,e) invertierbar ist?
Gruss
Igor
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Hallo Igor,
schau mal hier, da wurde diese Aufgabe ausführlich diskutiert.
MFG,
Gono.
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