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| Aufgabe | | Finden Sie eine Differentialgleichung der Form [mm] y''''+a_{3}y'''+a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0 [/mm] , so dass die Funktionen [mm] e^{\pi*x}, e^{-3}x, e^{x}cos(5x), e^{x}sin(5x) [/mm] Lösungen sind. |
Hallo an Alle,
also ich weiß, wie man das löst. Man berechnet von all diesen Funktionen die ersten bis vierten Ableitungen und löst das entstehende GS. Mein Problem ist das Gleichungssystem. Das scheint mir zu schwierig zu sein, als das man es per Gaußalgorithmus lösen könnte, oder? Hat jemand ne Idee, wie man das möglichst einfach lösen kann? Hier noch mal mein GS:
[mm] (I)\pi^{4}e^{\pi*x}+\pi^{3}e^{\pi*x}a_{3}+\pi^{2}e^{\pi*x}a_{2}+\pi^{1}e^{\pi*x}a_{1}+e^{\pi*x}a_{0}=0
[/mm]
[mm] (II)a_{1}*e^{-3}+a_{0}e^{-3}*x=0
[/mm]
[mm] (III)e^{x}(476cos(5x)+480sin(5x))+a_{3}e^{x}(-74cos(5x)+110sin(5x))+a_{2}e^{x}(-24cos(5x)-10sin(5x))+a_{1}e^{x}(cos(5x)-5sin(5x))+a_{0}e^{x}cos(5x)=0
[/mm]
[mm] (IV)e^{x}(476sin(5x)-480cos(5x))+a_{3}e^{x}(-74sin(5x)-110cos(5x))+a_{2}e^{x}(-24sin(5x)+10cos(5x))+a_{1}e^{x}(sin(5x)+5cos(5x))+a_{0}e^{x}sin(5x)=0
[/mm]
Bitte um Hilfe!
Schöne Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Die angegebenen Lösungen deuten doch auf die Nullstellen der charakteristischen Gleichung hin:
[mm] $k^4+a_3*k^3+a_2*k^2+a_1*k+a_0 [/mm] \ = \ 0$
In seine Linearfaktoren der einzelnen Lösungen zerlegt ergibt sich hier:
[mm] $(k-\pi)*(k+3)*(k-1+5i)*(x-1-5i) [/mm] \ = \ $
Wenn Du diese Klammern nun ausmultiplizierst, führt ein Koeffzientenvergleich zum Ziel.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Soll die eine Lösung wirklich [mm] $e^{-3}*x [/mm] \ = \ [mm] x*\bruch{1}{e^3}$ [/mm] und nicht [mm] $e^{-3*x}$ [/mm] heißen?
Dann stimmt mein o.g. Ansatz nicht ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
also es soll tatsächlich [mm] e^{-3}*x [/mm] heißen. Das mit dem GS müsste doch zum Ziel führen oder??? Die Frage ist nur wie ich es löse. Oder hast du noch ne andere Idee?
Grüße, Daniel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Fr 04.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Daniel!
Da dieses Gleichungssystem für alle $x [mm] \in [/mm] D$ gelten und erfüllt sein soll, könnte es doch ausreichen, sich ein spezielles $x_$ wie z.B. $x \ = \ 0$ auszuwählen, und damit die Koeffizienten zu bestimmen.
Gruß
Loddar
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Ahh...stimmt. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Da hatte ich wohl ein Brett vorm Kopf.
Danke!
LG Daniel
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