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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Do 17.01.2008 | | Autor: | matze2 |
Wie stellt man x = [mm] \bruch{(y-2)!-1}{y} [/mm] nach y frei, wenn die Umkehrfunktion von f(x) = x! [mm] f(x)^{-1} [/mm] = x? ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Wie stellt man x = [mm]\bruch{(y-2)!-1}{y}[/mm] nach y frei, wenn
> die Umkehrfunktion von f(x) = x! [mm]f(x)^{-1}[/mm] = x? ist?
Hallo,
hat das $!$ hier irgendeine Bedeutung? Ich kenne es nur als Gammafunktion, also die verallgemeinerte Fakultät, aber ich glaube nicht, dass das so gemeint ist, da das kein Schulstoff sein sollte. Und was soll das, dass die Umkehrfunktion von $f(x)=x!$ dann [mm] $f(x)^{-1}=x$ [/mm] ist? Das würde zu $f(x)=x$ passen.
Ehrlich gesagt verstehe ich hier Deine Frage nicht ganz. Vielleicht erklärst Du das nochmal, worum es genau geht und ob bzw. welche Bedeutung hier das Ausrufezeichen haben soll.
Gruß,
Marcel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:33 Fr 18.01.2008 | | Autor: | matze2 |
Das ! steht für die auf [mm] \IR_{+} [/mm] erweiterte Fakultät, also die Gammafunktion. Es handelt sich nicht um Schulstoff, sondern um privaten Stoff. (Es geht um Primzahlzwillinge). Das erste Fragezeichen soll als selbst definiertes mathematisches Symbol und das zweite als Satzzeichen stehen. Ich dachte !^{-1} wäre als Symbol verwirrender.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Kannst du deine frage vielleicht etwas konkreter stellen. Du sagst es geht um Primzahlzwillinge aber ich sehe da keinen Bezug zur aufgabe. Was genau sollen die Primzahlzwillinge mit der Gamafunktion zu tun haben..
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 19.01.2008 | | Autor: | matze2 |
Die Frage ist ganz konkret, wie man $ x = [mm] \bruch{(y-2)!-1}{y} [/mm] $ nach y freistellen kann, beziehungsweise wie die Umkehrfunktion $ [mm] f^{-1}(x) [/mm] $ von $ f(x) = [mm] \bruch{(x-2)!-1}{x} [/mm] $ lautet. Man kann den Graphen also zeichnen.
Ich kann aber trotzdem erzählen, wie ich zu diesem Problem kam:
Gegeben sei $ [mm] n_{1} [/mm] $, $ [mm] n_{2} \in \IN [/mm] $, $ [mm] p_{1} [/mm] $, $ [mm] p_{2} \in \IP [/mm] $ und $ [mm] p_{2} [/mm] = [mm] p_{1} [/mm] + 2 $
$ [mm] (p_{4} [/mm] - 4)! $ mod $ [mm] (p_{2} [/mm] - 2) = 1 ---> [mm] (p_{2} [/mm] - 4)! = [mm] n_{1} (p_{2} [/mm] - 2) + 1 $
$ [mm] (p_{2} [/mm] - 2)! $ mod $ [mm] p_{2} [/mm] $ $ = 1 ---> [mm] (p_{2} [/mm] - 2)! = [mm] n_{2} p_{2} [/mm] $ $ + 1 $
(1) $ [mm] n_{1} [/mm] = [mm] \bruch{(p_{2}-4)! - 1}{p_{2} - 2} [/mm] $
(2) $ [mm] n_{2} [/mm] = [mm] \bruch{(p_{2} - 2)! - 1}{p_2} [/mm] $
$ [mm] n_{2} p_{2} [/mm] + 1 = [mm] (n_{1} (p_{2} [/mm] - 2) + 1) [mm] (p_{2} [/mm] - 3) ( [mm] p_{2} [/mm] - 2) $
Wenn man jetzt nach $ [mm] p_{2} [/mm] $ freistellt, kommt man vermutlich nicht auf eine hilfreiche Gleichung, mit der man etwas über Primzahlzwillinge zeigen könnte. Ich kann mich aber auch irren.
Wenn man bei (2) nach $ [mm] p_{2} [/mm] $ freistellt und in (1) einsetzt erhält man einen Term mit einer Variablen, die für eine natürliche Zahl steht. Vielleicht könnte man dann angeben, für welche Zahlen für die Variable der Term eine natürliche Zahl liefert und so beweisen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder sogar eine Formel für das n-te Primzahlzwilling angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:53 Di 22.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matze,
ich will Dir ja nicht den Mut hier wegnehmen, aber es ist noch ungeklärt, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlzwilling
Ich hatte nun noch nicht wirklich Lust, mit Deine Überlegungen anzugucken, aber ich kann Dir sagen, dass die Gammafunktion schon sehr ausführlich untersucht worden ist, da gibt es eine Darstellungen als gewisse Integrale, als unendliches Produkt und auch sogar bzgl. einer Fortsetzung in [mm] $\IC$. [/mm] Da benötigst Du aber einiges an theoretischem Hintergrund, nur mal so grob, dass Du Dir da einen Überblick verschaffen kannst, was man schon so von der Gammafunktion beispielsweise alles weiß (und das ist sicherlich noch längst nicht alles):
http://home.arcor.de/steffen.hitzemann/mathprobs/Lexikon/Artikel/gamma.htm
Und wie Informix bereits angedeutet hat, müßtest Du die Gammfunktion geeignet einschränken, um überhaupt von der Umkehrfunktion sprechen zu können.
Wie gesagt, ich will Dir den Mut nicht nehmen und drücke Dir die Daumen, dass es Dir vielleicht sogar gelingt, Primzahlzwillinge zu konstruieren und damit dann zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Aber eigentlich sehe ich die Chance, dass Dir das unter Verwendung der Gammafunktion gelingt, dann doch eher als gering, weil die halt schon sehr ausführlich untersucht wurde. Aber da kann man sich auch täuschen. Also jedenfalls mal viel Erfolg, und vielleicht helfen Dir die beiden Links oben ja auch ein wenig 
P.S.:
Stimmt denn Deine Altersangabe? Also nicht falsch verstehen: Ich finde das super, wenn Du Dich schon in so jungen Jahren mit solchen Dingen befasst oder es versuchst, aber ich kenne - glaube ich - niemanden, der sich schon früh mit solchen Dingen zu befassen versuchte, alleine schon, weil normalerweise einfach zu wenig mathematisches Grundwissen (oder -Verständnis) für derartiges vorhanden ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 22.01.2008 | | Autor: | matze2 |
Den Wikipediatikel hatte ich auch schon vorher mal gelesen gehabt und ich wusste auch schon, dass es bisher noch keinen endgültigen Beweis gibt. Ich schätze selbst meine Chancen auch sehr, sehr gering ein, aber auch ohne letztlich auf das eigentlich erwünschte Ergebnis zu kommen, ist die Auseinandersetzung mehr vorteilhaft als nachteilhaft. Ich persönlich finde, Primzahlen sind eines der interessantesten Themen, gerade auch weil sogar noch heute viele Fragen offen sind.
Ja, die Altersangabe ist noch aktuell, allerdings werde ich im nächsten Monat 16. Trotzdem merke ich in der Tat, zum Beispiel bei Integralen, dass mir wesentliches Grundwissen fehlt. Bisher bin ich mit der Fakultät, der Kongruenz (dem Gleichheitszeichen mit 3 Strichen), der Modulo Funktion, dem Sigma, dem selben für Produkte und den Gaußklammern immer soweit zurecht gekommen. Aber wenn man tiefgründiger in ein Thema eintauchen will, wird es oft problematisch.
Grüße,
Matthias
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Hallo matze2,
> Das ! steht für die auf [mm]\IR_{+}[/mm] erweiterte Fakultät, also
> die Gammafunktion. Es handelt sich nicht um Schulstoff,
> sondern um privaten Stoff. (Es geht um Primzahlzwillinge).
> Das erste Fragezeichen soll als selbst definiertes
> mathematisches Symbol und das zweite als Satzzeichen
> stehen. Ich dachte !^{-1} wäre als Symbol verwirrender.
Wenn du diese Funktion $ f(x) = [mm] \bruch{(x-2)!-1}{x} [/mm] $ mal zeichnen würdest, wirst du erkennen, dass sie (fast) nirgends umkehrbar ist.
[edit:] ich habe noch mal genauer hingeschaut: für [mm] x\ge [/mm] 3 scheint die Funkiton tatsächlich monoton steigend zu sein.
Aber ob du deshalb einen Term für die Umkehrfunktion finden kannst, glaube ich immer noch nicht. [edit. informix]
Ich habe den Eindruck, auf diesem Weg kommst du nicht an die Aufgabe heran.
Warum willst du denn partout diese n berechnen?!
Solche Aufgaben löst man eher durch Probieren und dann mit dem Beweis durch  Induktion.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 22.01.2008 | | Autor: | matze2 |
Weil ziemlich direkt aus dem Satz von Wilson folgt, dass für $ x [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in \IP [/mm] $ $ f(x) [mm] \in \IN [/mm] $
Vielleicht wäre es hilfreich, nach $ x $ freizustellen und dann in die andere Gleichung einzusetzen. (Es gibt noch eine Gleichung, da logischerweise $ x + 2 $ auch prim ist, wenn $ x $ und $ x + 2 $ ein Primzahlzwilling ist.)
Gruß,
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:11 Di 22.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matze,
> Das ! steht für die auf [mm]\IR_{+}[/mm] erweiterte Fakultät, also
> die Gammafunktion. Es handelt sich nicht um Schulstoff,
> sondern um privaten Stoff. (Es geht um Primzahlzwillinge).
> Das erste Fragezeichen soll als selbst definiertes
> mathematisches Symbol und das zweite als Satzzeichen
> stehen. Ich dachte !^{-1} wäre als Symbol verwirrender.
wenn es um die Gammafunktion geht (bzw. die Gammafunktion eingeschränkt auf einen Bereich $M$), so kannst Du ruhig einfach das dafür gebräuchliche Symbol [mm] $\Gamma$ [/mm] verwenden (bzw. [mm] $\Gamma_{|M}$).
[/mm]
In dem Link (siehe andere Mitteilung) findest Du auch explizit eine Darstellung für [mm] $\Gamma$, [/mm] z.B. [mm] $\Gamma(x)=\int_{0}^\infty{e^{-t}t^{x-1}dt}$ [/mm] ($x > 0$).
Dabei gilt dann (wie gewünscht)
[mm] $\Gamma(n)=n!=\produkt_{k=1}^n [/mm] k$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Und wenn Du dann eine Menge $M$ so angibst, dass [mm] $\Gamma$ [/mm] eingeschränkt auf $M$ injektiv ist, so ist natürlich dann [mm] $\Gamma_{|M}: [/mm] M [mm] \to \Gamma(M)$ [/mm] bijektiv und Du könntest dann von der Umkehrfunktion [mm] $\Gamma_{|M}^{-1}: \Gamma(M) \to [/mm] M$ sprechen. Also das Symbol [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist gebräuchlich für die Umkehrfunktion einer Bijektion $f$, manch einer schreibt dafür zwar lieber [mm] $f^{inv}$, [/mm] aber aus dem Zusammenhang sollte sich normalerweise auch ergeben, was gemeint ist 
Also Du musst hier keine neuen Symbole erfinden, meiner Ansicht nach sorgt das hier eher für Verwirrung. Abhalten kann Dich natürlich keiner davon, aber bitte generell, wenn Du irgendwelche Symbole einführst, dann auch deren Bedeutung (er)klären.
Mir war zum Beispiel total entgangen, dass Du dort in einer Formel überhaupt ein Fragezeichen stehen hast, das habe ich übersehen, und ich dachte, dass das ! zwar vielleicht die verallg. Fakultät bezeichnen könnte, aber dann hielt ich das wegen Deiner Altersangabe dann doch wieder für einen Tippfehler....
Also:
Anstatt $x = [mm] \bruch{(y-2)!-1}{y} [/mm] $ schreibst Du einfach:
$x [mm] =\bruch{\Gamma(y-2)-1}{y}$ [/mm] und Deine Frage lautet nun, wie man diese Gleichung nach $y$ freistellt. Dazu sollten dann noch Angaben stehen, $x [mm] \in [/mm] M$ und $y [mm] \in [/mm] N$, wobei Du die Mengen $M$ und $N$ explizit angeben solltest.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Di 22.01.2008 | | Autor: | matze2 |
Ok, dann schreibe ich in Zukunft $ [mm] \Gamma_{|M} [/mm] $ beziehungsweise $ [mm] \Gamma_{|M}^{-1} [/mm] $
Die Mengen $ N $ und $ M $ würde ich wie folgt festlegen:
$ N [mm] \in \IR \wedge [/mm] N [mm] \ge [/mm] 3 $
$ M [mm] \in \IR \wedge [/mm] M [mm] \ge [/mm] 0 $
Gruß,
Matthias
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