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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Minga |
Das Gleichungssystem:
(A*B)+(A+B)=95
(A*B)-(A+B)=59
Soll gelöst werden. A und B sind ganze Zahlen.
Die pq-Formel sollte nicht angewendet werden.
Wie soll das gehen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Minga,
> Das Gleichungssystem:
> (A*B)+(A+B)=95
> (A*B)-(A+B)=59
> Soll gelöst werden. A und B sind ganze Zahlen.
> Die pq-Formel sollte nicht angewendet werden.
> Wie soll das gehen? Danke!
Du könntest zum Beispiel eine Gleichung nach A auflösen und dieses dann in die andere Gleichung einsetzen:
$(A*B)+(A+B)=95$
[mm] $\gdw [/mm] A*B+A+B=95$
[mm] $\gdw [/mm] A*(B+1)+B=95$
[mm] $\gdw [/mm] A*(B+1)=95-B$
Fallunterscheidung, da ich jetzt gerne durch $B+1$ dividieren möchte.
1. Fall: [mm] $B+1\neq [/mm] 0$
[mm] $\gdw A=\bruch{95-B}{B+1}$
[/mm]
Einsetzen in zweite Gleichung:
[mm] $(\bruch{95-B}{B+1}*B)-(\bruch{95-B}{B+1}+B)=59$
[/mm]
Das überlasse ich dir zur Übung...
2. Fall: $B+1=0$ [mm] $\gdw [/mm] B=-1$
$(A*B)-(A+B)=59$
[mm] $\gdw [/mm] A*(-1)-(A+(-1))=0$
Auch das überlasse ich dir...
Hier gibt es aber auch noch einen geschickteren Weg, ohne Fallunterscheidung.
Und zwar löse ich die erste Gleichung nach $A*B$ auf und setze das ein in die zweite Gleichung; dadurch wird zwei keine Variable eliminiert, aber ich erhalte eine sehr einfach Gleichung, die ich dann nach A auflösen kann:
$(A*B)+(A+B)=95$
[mm] $\gdw [/mm] A*B=95-A-B$
Einsetzen in die zweite Gleichung:
$(A*B)-(A+B)=59$
[mm] $\gdw \underbrace{(A*B)}_{=95-A-B}-(A+B)=59$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 95-A-B-(A+B)=59$
[mm] $\gdw [/mm] 95-A-B-A-B=59$
[mm] $\gdw [/mm] 2A+2B=36$
[mm] $\gdw [/mm] A+B=18$
[mm] $\gdw [/mm] A=18-B$
Einsetzen in erste Gleichung:
$A*B+A+B=95$
[mm] $\gdw [/mm] (18-B)*B+18-B+B=95$
[mm] $\gdw 18B-B^2+18=95$
[/mm]
[mm] $\gdw 18B-B^2-77=0$
[/mm]
[mm] $\gdw B^2-18B+77=0$
[/mm]
Quadratische Ergänzung:
[mm] $\gdw B^2-18B+\left(\bruch{18}{2}\right)^2-\left(\bruch{18}{2}\right)^2+77=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \underbrace{B^2-18B+81}_{=(B-9)^2}-81+77=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (B-9)^2-4=0$
[/mm]
[mm] $\gdw (B-9)^2=4$
[/mm]
[mm] $\gdw |B-9|=\sqrt{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw -(B-9)=2\;\;\vee\;\;B-9=2$
[/mm]
[mm] $\gdw -B+9=2\;\;\vee\;\;B=9+2$
[/mm]
[mm] $\gdw B_1=9-2=7\;\;\vee\;\;B_2=9+2=11$
[/mm]
Dies setze ich nun in diejenige Gleichung oben ein, die nach $A$ aufgelöst ist:
$A=18-B$
[mm] $\gdw A_1=18-B_1=18-7=11\;\;\vee\;\;A_2=18-B_2=18-11=7$
[/mm]
Die Lösungen sind also die Paare $(A,B)=(7,11)$ und $(A,B)=(11,7)$
Vielleicht gibt es aber noch geschicktere Lösungswege (z.B. mit dem Satz von Vieta, $AB$ und $A+B$ sieht verdächtig aus), aber das sehe ich im Augenblick noch nicht, vielleicht jemand anderes hier im MatheRaum.
Alles Gute,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Minga, hallo Marc!
Es geht etwas einfacher. Aber Respekt vor deinem Durchhaltevermögen, Marc! 
Aus
> (A*B)+(A+B)=95
> (A*B)-(A+B)=59
folgt durch Addition der beiden Gleichungen:
(1) [mm]A*B=77[/mm]
und durch Subtraktion der beiden Gleichungen:
(2) [mm]A+B = 18[/mm].
Da die Primfaktorzerlegung von [mm]77[/mm] wie folgt ist: [mm]77=7*11[/mm], folgt aus (1):
[mm](A,B) \in \{(-1,-77), (-7,-11), (-11,-7), (-77,-1), (1,77),(7,11),(11,7),(77,1)\}[/mm]
und dann zusammen mit (2)
[mm](A,B) = (7,11)[/mm] oder [mm](A,B)=(11,7)[/mm].
Viele Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo julius,
das habe ich auch gerade gemerkt und wollte es gerade schreiben.
Vielen Dank für dein Engagement hier im MatheRaum, ich hatte dich ja noch gar nicht richtig begrüßt hier, weil du keine Fragen gestellt hast  Willkommen also im MatheRaum!
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Marc,
ja, mir gefällt es hier so gut, dass ich wirklich gerne an diesem Projekt mitarbeiten möchte! Eine Kollege hat mir davon erzählt.
Viele Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> Da die Primfaktorzerlegung von [mm]77[/mm] wie folgt ist: [mm]77=7*11[/mm],
> folgt aus (1):
>
> [mm](A,B) \in \{(-1,-77), (-7,-11), (-11,-7), (-77,-1), (1,77),(7,11),(11,7),(77,1)\}[/mm]
>
>
> und dann zusammen mit (2)
>
> [mm](A,B) = (7,11)[/mm] oder [mm](A,B)=(11,7)[/mm].
damit sind das übrigens auch genau die Überlegungen, die man durchführen muß, wenn man eine quadratische Gleichung mittels des Satzes von Vieta lösen will (natürlich nur, wenn die Lösungen ganzzahlig sind).
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Fr 12.03.2004 | | Autor: | Minga |
Vielen Dank!
Habe ewig versucht das rauszugriegen, aber auf die Primfaktorzerlegung bin ich natürlich nicht gekommen.
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