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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Gleichung lösen
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Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Sa 19.01.2008
Autor: M4rc

Aufgabe
Gegeben ist die Gleichung [mm] sin(x)+3*cos(x)=a*sin(x+\varphi) [/mm]

berechnen Sie a und phi

Es gilt das Additionstheorem:

[mm] sin(\alpha+\beta)=sin(\alpha)*cos(\beta)+sin(\beta)*cos(\alpha) [/mm]

ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Das einzige was ich hinbekommen ist das Additionstheorem anzuwenden so das das ganze dann so aussieht:

[mm] sin(x)+3*cos(x)=a*(sin(x)*cos(\varphi)+sin(\varphi)*cos(x)) [/mm]

hab mal probiert durch sin(x) zu dividieren

da bleibt ja über: [mm] 3cot(x)=a*cos(\varphi)+a*sin(\varphi)*cot(x) [/mm]

und falls das was bringen sollte komm ich jetzt jedenfalls nicht weiter...

danke für hilfe

        
Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Sa 19.01.2008
Autor: Martinius

Hallo,

> Gegeben ist die Gleichung [mm]sin(x)+3*cos(x)=a*sin(x+\varphi)[/mm]
>  
> berechnen Sie a und phi


Das kann man so machen: Zuerst fragt man sich, wo denn die linke Funktion  ein Maximum hat [mm] (2\pi-periodisch [/mm] ist sie ohnehin):

$f(x) = sin(x)+3*cos(x)$

$f'(x) = cos(x) -3sin(x) = 0$

[mm] \gdw [/mm]  $tan(x) = [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm]  

[mm] \gdw [/mm]  $x = arctan [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm]   also  [mm] x_1 [/mm] = 0,3218

Praktischerweise haben wir hier ein Maximum erwischt, brauchen also nicht umrechnen.

Also ist $a = [mm] f(x_1) [/mm] = 3,1623$

Jetzt liegt ein Maximum einer unverschobenen Sinusfunktion ja bei [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm]
Die unverschobene Sinusfunktion a*sin(x) muss also um [mm] $\bruch{\pi}{2}-x_1 [/mm] = 1,2490 $ nach links verschoben werden, damit sie mit f(x) zur Deckung kommt. Also

[mm] $a*sin(x+\varphi) [/mm] = 3,1623*sin(x+1,2490)$


LG, Martinius


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Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Sa 19.01.2008
Autor: M4rc

Warum ist a=f(x1)

und wäre das denn die lösung für x?

sinx+3*cos=sinx*cos1,249+sin1,2490+cosx

sinx-3,1623+sinx*cos1,2490=sin1,2490*cosx*3,1623*cosx

sinx(1-3,1623*cos1,2490)=cosx(sin1,2490*3,1623-3)

tanx= (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)

x= arctan (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)

x=53,59

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Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:38 Sa 19.01.2008
Autor: Martinius

Hallo,

> Warum ist a=f(x1)

Weil [mm] x_1 [/mm] ein Maximum von f(x)= sin(x)+3cos(x) ist; der maximale Funktionswert von [mm] f(x_1) [/mm] ist die Amplitude a der Sinus-Schwingung (=maximale Auslenkung) auf der rechten Seite der Gleichung.

>  
> und wäre das denn die lösung für x?

x ist die unabhängige Variable - danach ist nicht gefragt.
Gefragt ist nach a und [mm] \varphi [/mm] - also nach einer Funktion von x in der Form f(x) = [mm] a*sin(x+\varphi). [/mm]

  

> sinx+3*cos=sinx*cos1,249+sin1,2490+cosx
>  
> sinx-3,1623+sinx*cos1,2490=sin1,2490*cosx*3,1623*cosx
>  
> sinx(1-3,1623*cos1,2490)=cosx(sin1,2490*3,1623-3)
>  
> tanx= (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)
>  
> x= arctan (sin1,2490*3,1623-3)/(1-3,1623*cos1,2490)
>  
> x=53,59

Das kann ich nicht nachvollziehen.


LG, Martinius


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Gleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 So 20.01.2008
Autor: M4rc

Achso, ja macht Sinn, wer lesen kann ist klar im vorteil.

Danke

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