Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bestimmen Sie alle [mm] z\in\IC [/mm] mit [mm] z(\overline{z}+i)=z^2+i
[/mm]
Habe wahrscheinlich wieder Mist gemacht und komme nicht weiter.
[mm] \Rightarrow z=\bruch{z^2+i}{\overline{z}+i} [/mm] = [mm] \bruch{(x+iy)^2+i}{(x-iy)+i} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+2xiy+(iy)^2+i}{x-iy+i} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+2xiy-y^2+i}{x-iy+i} [/mm] = [mm] \bruch{(x^2-y^2)+(2xy+1)i}{x-(y+1)i} [/mm] = [mm] \bruch{((x^2-y^2)+(2xy+1)i)(x+(y+1)i)}{(x-(y+1)i)(x+(y+1)i)} [/mm] = [mm] \bruch{((x^2-y^2)+(2xy+1)i)(x+(y+1)i)}{x^2-((y+1)i)^2} [/mm] = [mm] \bruch{((x^2-y^2)+(2xy+1)i)(x+(y+1)i)}{x^2+(y+1)^2} [/mm] ...
Ich mache was falsch oder? Die Rechnung wird doch extrem lang, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Sa 14.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle [mm]z\in\IC[/mm] mit [mm]z(\overline{z}+i)=z^2+i[/mm]
>
> Habe wahrscheinlich wieder Mist gemacht und komme nicht
> weiter.
>
> [mm]\Rightarrow z=\bruch{z^2+i}{\overline{z}+i}[/mm] =
> [mm]\bruch{(x+iy)^2+i}{(x-iy)+i}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2+2xiy+(iy)^2+i}{x-iy+i}[/mm] =
> [mm]\bruch{x^2+2xiy-y^2+i}{x-iy+i}[/mm] =
> [mm]\bruch{(x^2-y^2)+(2xy+1)i}{x-(y+1)i}[/mm] =
> [mm]\bruch{((x^2-y^2)+(2xy+1)i)(x+(y+1)i)}{(x-(y+1)i)(x+(y+1)i)}[/mm]
> = [mm]\bruch{((x^2-y^2)+(2xy+1)i)(x+(y+1)i)}{x^2-((y+1)i)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{((x^2-y^2)+(2xy+1)i)(x+(y+1)i)}{x^2+(y+1)^2}[/mm] ...
>
> Ich mache was falsch oder? Die Rechnung wird doch extrem
> lang, oder?
Hallo,
warum bringst du die gegebene Gleichung mit der relativ übersichtlichen Produktform überhaupt in eine Bruchform?
[mm](x+iy)(x-iy+i)=(x+iy)^2+i[/mm] ist wesentlich einfacher zu handhaben.
Gruß Abakus
>
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> Hallo,
> warum bringst du die gegebene Gleichung mit der relativ
> übersichtlichen Produktform überhaupt in eine Bruchform?
Weil ich gesehen habe das da dann gleich "z= ..." steht und ich keine Ahnung hatte was ich sonst tun sollte... Liegt vermutlich daran das ich die "Tricks" beim Lösen von komplexen Gleichungen nicht beherrsche.
> [mm](x+iy)(x-iy+i)=(x+iy)^2+i[/mm] ist wesentlich einfacher zu
> handhaben.
[mm] \Rightarrow (x+iy)(x-iy+i)=(x+iy)^2+i
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2-xiy+xi+iyx-i^2y^2+i^2y [/mm] = [mm] x^2+2xiy+i^2y^2+i
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2+xi+y^2-y [/mm] = [mm] x^2+2xiy-y^2+i
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x)i+(x^2+y^2-y) [/mm] = [mm] (x^2-y^2)+i(2xy+1)
[/mm]
Und jetzt?
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Hallo,
> > Hallo,
> > warum bringst du die gegebene Gleichung mit der relativ
> > übersichtlichen Produktform überhaupt in eine Bruchform?
>
> Weil ich gesehen habe das da dann gleich "z= ..." steht und
> ich keine Ahnung hatte was ich sonst tun sollte... Liegt
> vermutlich daran das ich die "Tricks" beim Lösen von
> komplexen Gleichungen nicht beherrsche.
>
>
> > [mm](x+iy)(x-iy+i)=(x+iy)^2+i[/mm] ist wesentlich einfacher zu
> > handhaben.
>
> [mm]\Rightarrow (x+iy)(x-iy+i)=(x+iy)^2+i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2-xiy+xi+iyx-i^2y^2+i^2y[/mm] = [mm]x^2+2xiy+i^2y^2+i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2+xi+y^2-y[/mm] = [mm]x^2+2xiy-y^2+i[/mm]
Bis dahin ist es zielführend (und richtig). ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\Rightarrow (x)i+(x^2+y^2-y)[/mm] = [mm](x^2-y^2)+i(2xy+1)[/mm]
>
> Und jetzt?
>
Der letzte Schritt bringt dich IMO nicht weiter. Bringe die Gleichung mal auf die Nullform, klammere i noch aus, dann bekommst du zwei wunderschöne Forderungen für x und y.
Gruß, Diophant
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> Der letzte Schritt bringt dich IMO nicht weiter. Bringe die
> Gleichung mal auf die Nullform, klammere i noch aus, dann
> bekommst du zwei wunderschöne Forderungen für x und y.
>
> Gruß, Diophant
[mm] \Rightarrow x^2+xi+y^2-y=x^2+2xiy-y^2+i
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2+xi+y^2-y-x^2-2xiy+y^2-i=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow -2xiy+xi+2y^2-y-i=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (-2xy+x-1)i+(2y^2-y)=0
[/mm]
Was meinst du mit Forderungen? Die komplexen Zahlen sind null wenn Real- und Imaginärteil Null sind:
[mm] \Rightarrow [/mm] -2xy+x-1=0
[mm] \wedge [/mm]
[mm] 2y^2-y=0
[/mm]
Und was tue ich jetzt?
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Hallo,
> > Der letzte Schritt bringt dich IMO nicht weiter. Bringe die
> > Gleichung mal auf die Nullform, klammere i noch aus, dann
> > bekommst du zwei wunderschöne Forderungen für x und y.
> >
> > Gruß, Diophant
>
> [mm]\Rightarrow x^2+xi+y^2-y=x^2+2xiy-y^2+i[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2+xi+y^2-y-x^2-2xiy+y^2-i=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -2xiy+xi+2y^2-y-i=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (-2xy+x-1)i+(2y^2-y)=0[/mm]
>
> Was meinst du mit Forderungen? Die komplexen Zahlen sind
> null wenn Real- und Imaginärteil Null sind:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] -2xy+x-1=0
>
> [mm]\wedge[/mm]
>
> [mm]2y^2-y=0[/mm]
>
> Und was tue ich jetzt?
Das nichtlineare Gleichungssystem
x-2xy-1=0
[mm] 2y^2-y=0
[/mm]
lösen. Das ist leicht, weil in einer der beiden Gleichungen nur y vorkommt. Es gibt halt mehrere Lösungen, das liegt in der Natur der Sache...
Gruß, Diophant
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I. x-2xy-1=0
II. [mm] 2y^2-y=0 [/mm]
Für II. also [mm] {y=\bruch{1}{2}} \vee [/mm] y=0
In I. funktioniert nur y=0 da [mm] {y=\bruch{1}{2}} \Rightarrow x-2x\bruch{1}{2}-1=0 \Rightarrow [/mm] 0=1 [mm] \times
[/mm]
Also muss der Realteil von z Eins sein und der Imaginärteil Null also z=1 oder wie ist nun die Lösung?
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Hallo,
> I. x-2xy-1=0
> II. [mm]2y^2-y=0[/mm]
>
> Für II. also [mm]{y=\bruch{1}{2}} \vee[/mm] y=0
>
> In I. funktioniert nur y=0 da [mm]{y=\bruch{1}{2}} \Rightarrow x-2x\bruch{1}{2}-1=0 \Rightarrow[/mm]
> 0=1 [mm]\times[/mm]
>
> Also muss der Realteil von z Eins sein und der
> Imaginärteil Null also z=1 oder wie ist nun die Lösung?
So ist es.
Gruß, Diophant
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Dann hier noch eine und mein Versuch dazu:
Gesucht sind alle [mm] z\in\IC [/mm] die folgende Gleichung lösen:
[mm] v^2+\overline{v}=3v-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x+iy)^2+(x-iy)=3(x+iy)-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2+2xiy+(iy)^2+(x-iy)=3x+3iy-1
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2+2xiy-y^2+x-iy-3x-3iy+1^=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2xiy-4iy+x^2-2x+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (2xy-4y)i+(x^2-2x+1)=0
[/mm]
I. 2xy-4y=0
II. [mm] x^2-2x+1=0
[/mm]
Für II.
[mm] \gdw (x-1)^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x-1=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1
II. in I.:
2*1y-4y=0
[mm] \gdw [/mm] -2y=0
[mm] \gdw [/mm] y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1 [mm] \wedge [/mm] y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] z=1
Ist das alles richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 14.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Dann hier noch eine und mein Versuch dazu:
>
> Gesucht sind alle [mm]z\in\IC[/mm] die folgende Gleichung lösen:
>
> [mm]v^2+\overline{v}=3v-1[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow (x+iy)^2+(x-iy)=3(x+iy)-1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2+2xiy+(iy)^2+(x-iy)=3x+3iy-1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^2+2xiy-y^2+x-iy-3x-3iy+1^=0[/mm]
Ab hier fehlt das -y² in der weiteren Rechnung.
Du bekommst:
[mm] $x^{2}-2x+1-y^{2})+2xyi-4iy=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow((x^{2}-2x+1)-y^{2})-(2xy-4y)\cdot [/mm] i=0$
[mm] $\Leftrightarrow((x-1)^{2}-y^{2})-(2y(x-2))\cdot [/mm] i=0$
[mm] $\Leftrightarrow(((x-1)-y)((x-1)+y))-(2y(x-2))\cdot i=0+0\cdot [/mm] i$
>
> [mm]\Rightarrow 2xiy-4iy+x^2-2x+1=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (2xy-4y)i+(x^2-2x+1)=0[/mm]
>
> I. 2xy-4y=0
> II. [mm]x^2-2x+1=0[/mm]
>
> Für II.
>
> [mm]\gdw (x-1)^2=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-1=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1
>
> II. in I.:
>
> 2*1y-4y=0
>
> [mm]\gdw[/mm] -2y=0
>
> [mm]\gdw[/mm] y=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1 [mm]\wedge[/mm] y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] z=1
>
> Ist das alles richtig?
Leider nicht, du hast das -y² vergessen, der Weg war aber korrekt.
Marius
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Komme irgendwie nicht auf deine Lösung. Also:
[mm] \Rightarrow x^2+2xiy-y^2+x-iy-3x-3iy+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2xiy-4iy-2x-y^2+x^2+1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (2xy-4y)i+(-2x-y^2+x^2+1)=0
[/mm]
I. 2xy-4y=0 [mm] \gdw [/mm] 2(xy-2y)=0
II. [mm] x^2-2x+1-y^2
[/mm]
für II.
[mm] \gdw (x-1)^2-y^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x-1-y=0
[mm] \Rightarrow [/mm] x=1+y
II. in I.:
[mm] \Rightarrow [/mm] 2((1+y)y-2y)=0
[mm] \Rightarrow (2(y+y^2-2y))=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(-y+y^2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow -2y+2y^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow y^2-y=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow (y-\bruch{1}{2})^2=\bruch{1}{4}
[/mm]
I. Gilt für y=0 [mm] \vee [/mm] y=1
Also für gilt x nach II. für x=1 [mm] \vee [/mm] x=2
Wo ist jetzt die Lösung?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Sa 14.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Komme irgendwie nicht auf deine Lösung.
Warum habe ich dir wohl die ausmultiplizierte Form des Realteils und des Imaginärteils gegeben.
Also:
>
> [mm]\Rightarrow x^2+2xiy-y^2+x-iy-3x-3iy+1=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2xiy-4iy-2x-y^2+x^2+1=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (2xy-4y)i+(-2x-y^2+x^2+1)=0[/mm]
>
> I. 2xy-4y=0 [mm]\gdw[/mm] 2(xy-2y)=0
> II. [mm]x^2-2x+1-y^2[/mm]
>
> für II.
>
> [mm]\gdw (x-1)^2-y^2=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-1-y=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1+y
Hier fehlt noch eine Lösung:
Wann ist denn das Produkt [mm] ((x-1)+y)\cdot((x-1)-y) [/mm] Null
(x-1)+y=0 führt zu x=1-y
und
(x-1)-y=0 führt zu x=1+y
>
> II. in I.:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 2((1+y)y-2y)=0
>
> [mm]\Rightarrow (2(y+y^2-2y))=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2(-y+y^2)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -2y+2y^2=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^2-y=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (y-\bruch{1}{2})^2=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> I. Gilt für y=0 [mm]\vee[/mm] y=1
>
> Also für gilt x nach II. für x=1 [mm]\vee[/mm] x=2
>
> Wo ist jetzt die Lösung?!
Besser wäre, mit dem Imaginärteil zu beginnen.
[mm] 2y\cdot(x-2)=0 [/mm] führt zu eindeutigen Lösungen für x und y, daraus kannst du dann über [mm] ((x-1)+y)\cdot((x-1)-y)=0 [/mm] die zugehörigen Lösungen für die andere Variable bestimmen.
Marius
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Also dann durch I. [mm] \Rightarrow [/mm] y=0 und dann in II. [mm] \Rightarrow [/mm] x=1
Somit z=1?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Sa 14.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Also dann durch I. [mm]\Rightarrow[/mm] y=0 und dann in II.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x=1
>
> Somit z=1?
Das stimmt so leider nicht.
Du hast $ [mm] 2y\cdot(x-2)=0 [/mm] $
Also y=0 oder x=2
Und damit dann, mit y=0, wird aus
$ [mm] ((x-1)+y)\cdot((x-1)-y)=0 [/mm] $
die Gleichung
$ [mm] ((x-1)+0)\cdot((x-1)-0)=0 [/mm] $
Und das führt zu x=1
Also ist [mm] z_{1}=1+0i
[/mm]
Und, mit x=2 wird
$ [mm] ((2-1)+y)\cdot((2-1)-y)=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow(1+y)\cdot(1-y)=0 [/mm] $
Also gibt es nun zwei Lösungen für y, nämlich 1 und -1
Damit dann:
[mm] z_{2}=2-i [/mm] und [mm] z_{3}=2+i
[/mm]
Marius
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