Gleichung mit komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie in komplexen Zahlen die folgende Gleichung:
|z + 1| = |z - 1| |
Ich hab zu der Aufgabe mal eine Frage: Es gibt ja hier wegen den Betragsstrichen insgesamt vier Fälle:
z + 1 = z - 1
z + 1 = -(z - 1)
-(z + 1) = z - 1
-(z + 1) = -(z-1)
Doch wenn ich die mir jetzt so aufschreibe, dann komm ich nicht weiter. Dann hab ich mir gedacht, dann mach ich aus dem z = a + bi.
Doch wenn ich schon bei der ersten anfang:
a+ bi + 1 = a + bi - 1
a + bi = a + bi - 2
0 = -2
Hier gibt es nun also keine Lösung.
Ist das der richtige Weg? Oder gibt es einen anderen, besseren?
Und noch eine Frage: Wann weiß ich wann z > 0 bzw. z < 0 ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lösen Sie in komplexen Zahlen die folgende Gleichung:
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> |z + 1| = |z - 1|
> Ich hab zu der Aufgabe mal eine Frage: Es gibt ja hier
> wegen den Betragsstrichen insgesamt vier Fälle:
>
> z + 1 = z - 1
> z + 1 = -(z - 1)
> -(z + 1) = z - 1
> -(z + 1) = -(z-1)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Falls Du demnächst Klausur schreiben möchtest, solltest Du Dich schleunigst mit den komplexen Zahlen etwas vertrauter machen - also mal Dein Skript studieren oder so.
Ich entnehme Deinem Post, daß Elementares an Dir vorbeigegangen ist.
Das mit den vier Fällen ist ja richtig, wenn es es sich um reelle Zahlen handelt.
Wir aber sind hier jetzt im Komplexen, und Du solltest nun einmal nachschlagen, was der Betrag einer komplexen Zahl ist.
Ohne Kenntnis dessen geht es nicht.
>
> Doch wenn ich die mir jetzt so aufschreibe, dann komm ich
> nicht weiter. Dann hab ich mir gedacht, dann mach ich aus
> dem z = a + bi.
Das ist eine ganz gute Idee.
>
> Doch wenn ich schon bei der ersten anfang:
>
> a+ bi + 1 = a + bi - 1
Jetzt läßt Du die Betragsstriche einfach weg?
Das darfst Du nicht.
Der von Dir eingeschlagene Weg führt bestimmt zum Ziel.
Du hast
|a+bi+1|=|a+bi-1|
[mm] \gdw
[/mm]
|(a+1)+bi|=|(a-1)+bi|
[mm] \rightarrow [/mm] ...
Wie gesagt, der Betrag ist hier zunächst der Dreh- und Angelpunkt.
> Wann weiß ich wann z > 0 bzw. z < 0 ?
Sofern z echt komplex ist, weißt Du das gar nicht.
In den komplexen Zahlen gibt's nicht positiv und negativ und größer und kleiner.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 27.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstens:
In [mm] $\IC$ [/mm] gibt es keine Ordnungsrelation. Daher macht es für $a,b [mm] \in \IC$ [/mm] keinen Sinn, von $a > [mm] b\,$ [/mm] oder ähnliches zu sprechen.
Zweitens:
Deine "Fallunterscheidungen" kannst Du so zwar machen, aber das macht dann nur Sinn, wenn Du $z [mm] \in \IR,$ [/mm] also $z [mm] \notin \IC \setminus \IR$ [/mm] hast.
Sobald Du dies also tust:
Alle Fälle " $z [mm] \in \IC \setminus \IR$ [/mm] " werden damit außer Acht gelassen.
Drittens:
Beschäftige Dich mal mehr mit komplexen Zahlen. Entweder benutzt Du, dass
[mm] $$z=|z|*e^{i \phi}=|z|*(\cos(\phi)+i*\sin(\phi))$$
[/mm]
mit einem eindeutig bestimmten [mm] $\phi \in [0,2\pi)$ [/mm] ist - wie das genau aussieht, solltest Du wissen (sofern Du z.B. weißt, wohin [mm] $\phi \mapsto e^{i*\phi}$ [/mm] als Abbildung [mm] $\IR \to \IC$ [/mm] genau abbildet),
oder aber (und das sind elementare Kenntnisse)
[mm] $$|z|=\sqrt{\text{Re }^2(z)+\text{Im }^2(z)}\,.$$
[/mm]
P.S.:
Wegen
$$|z|=|w| [mm] \gdw |z|^2=|w|^2$$
[/mm]
kannst Du bei
$$|z+1|=|z-1|$$
beide Seiten quadrieren.
[mm] $\text{(}$Beachte [/mm] auch:
[mm] $$\text{Re }(z+w)=\text{Re }(z)+\text{Re }(w)\,$$
[/mm]
analoges für [mm] $\text{Im }(z+w)\,.$
[/mm]
Tipps:
Mit dem oben genannten Beziehungen folgt z.B.
[mm] $$|z+1|^2=\text{Re }^2(z+1)+\text{Im }^2(z+1)=(\text{Re }(z)+\underbrace{1}_{=\text{Re }(1)})^2+(\text{Im }(z)+\underbrace{0}_{=\text{Im }(1)})^2\,.$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $z=\text{Re }(z)+i*\text{Im }(z)\equiv:a+ib$ [/mm] mit $a,b [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Danke für die Hilfestellung. Die Klausur is noch ein wenig zum Glück^^
Auf jeden Fall hab ich das jetzt so gemacht.
|z + [mm] 1|^{2} [/mm] = [mm] Re^{2}(z [/mm] +1) + [mm] Im^{2}(z [/mm] + 1) = (Re(z) + [mm] Re(1))^{2} [/mm] + (Im(z) + [mm] Im(1))^{2} [/mm] = (a + [mm] 1)^{2} [/mm] + (b + [mm] 0)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] + 2a + 1 + [mm] b^{2}
[/mm]
Dasselbe mit |z - 1|:
|z - [mm] 1|^{2} [/mm] = [mm] Re^{2}(z [/mm] -1) + [mm] Im^{2}(z [/mm] - 1) = (Re(z) - [mm] Re(1))^{2} [/mm] + (Im(z) - [mm] Im(1))^{2} [/mm] = (a - [mm] 1)^{2} [/mm] + (b - [mm] 0)^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] - 2a + 1 + [mm] b^{2}
[/mm]
Beide Teile gleichsetzen:
[mm] a^{2} [/mm] + 2a + 1 + [mm] b^{2} [/mm] = [mm] a^{2} [/mm] - 2a + 1 + [mm] b^{2}
[/mm]
2a = -2a
2 = -2 => [mm] \IL [/mm] = [mm] \{\}
[/mm]
Ist der Rechenweg richtig?
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Hallo john_rambo,
> Danke für die Hilfestellung. Die Klausur is noch ein wenig
> zum Glück^^
>
> Auf jeden Fall hab ich das jetzt so gemacht.
>
> |z + [mm]1|^{2}[/mm] = [mm]Re^{2}(z[/mm] +1) + [mm]Im^{2}(z[/mm] + 1) = (Re(z) +
> [mm]Re(1))^{2}[/mm] + (Im(z) + [mm]Im(1))^{2}[/mm] = (a + [mm]1)^{2}[/mm] + (b +
> [mm]0)^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] + 2a + 1 + [mm]b^{2}[/mm]
>
> Dasselbe mit |z - 1|:
>
> |z - [mm]1|^{2}[/mm] = [mm]Re^{2}(z[/mm] -1) + [mm]Im^{2}(z[/mm] - 1) = (Re(z) -
> [mm]Re(1))^{2}[/mm] + (Im(z) - [mm]Im(1))^{2}[/mm] = (a - [mm]1)^{2}[/mm] + (b -
> [mm]0)^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] - 2a + 1 + [mm]b^{2}[/mm]
>
> Beide Teile gleichsetzen:
>
> [mm]a^{2}[/mm] + 2a + 1 + [mm]b^{2}[/mm] = [mm]a^{2}[/mm] - 2a + 1 + [mm]b^{2}[/mm]
>
> 2a = -2a
Bis hierher ist Dein Rechenweg richtig.
>
> 2 = -2 => [mm]\IL[/mm] = [mm]\{\}[/mm]
Bringe die vorherige Gleichung (2a = -2a) auf die Form "=0",
und treffe dann eine Aussage über das "a".
>
> Ist der Rechenweg richtig?
Gruss
MathePower
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Du meinst also:
> 2a = -2a | +2a
4a = 0 | * [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
a = 0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Di 27.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, richtig.
wenn du wieder mal bei einer gleichung durch a teilst schreib IMMER dazu: für [mm] a\ne0!
[/mm]
gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:28 Mi 28.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Du meinst also:
>
> > 2a = -2a | +2a
>
> 4a = 0 | * [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> a = 0 ?
ja. Aber die Lösungsmenge [mm] $\IL$ [/mm] hast Du noch nicht angegeben. Beachte, dass
[mm] $$z=a+i*\bf{b}$$
[/mm]
ist! Die Frage ist ja noch:
Wieviele [mm] "$b\,$'s" [/mm] gibt's zu $a=0$?
P.S.:
Nur zur Deutlichkeit:
Mathepower hat Dir gesagt:
Aus [mm] $2a=-2a\,$ [/mm] folgt [mm] $4a=0\,$ [/mm] und damit [mm] $a=0\,.$
[/mm]
Das andere, was Leduart meinte, ist:
Du darfst durchaus auch
$$2a=-2a$$
[mm] $$\underset{a \not=0}{\gdw}\;\;2=-2$$
[/mm]
schreiben, wobei die Folgerung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] aber nur für $a [mm] \not=0$ [/mm] gilt. Daher muss man dann noch den Fall, wenn [mm] $a\,$ [/mm] nicht [mm] $\not=0$ [/mm] ist, bzw. anders gesagt: wenn [mm] $a=0\,$ [/mm] gilt, separat untersuchen.
P.S.:
Falls Du Dir oben bei der Angabe des (der) [mm] $b\,$'s [/mm] unsicher bist:
Vergleiche mal [mm] $|1+i*b|^2$ [/mm] mit [mm] $|1-i*b|^2=|1+i*(-b)|^2$ [/mm] ($b [mm] \in \IR$).
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo john_rambo,
nachdem die richtige Lösung ja nun gefunden ist, hier ergänzend eine Alternative:
anstatt viel rumzurechnen, mache eine simple geometrische Betrachtung:
Es bezeichnet für [mm] $z,w\in\IC, r\in\IR^{\ge 0}$ [/mm] doch $|z-w|=r$ die Menge aller [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von $w$ einen Abstand r haben.
Also ist $|z+1|=|z-1|$
[mm] $\gdw [/mm] |z-(-1)|=|z-(+1)|$ die Menge aller [mm] $z\in\IC$, [/mm] die von $-1$ und $+1$ denselben Abstand haben.
Das ist offensichtlich die Mittelsenkrechte zwischen -1 und 1, also die y-Achse (bzw. die imaginäre Achse).
Wie man die als Menge komplexer Zahlen (also als Lösungsmenge) schreiben kann, steht im thread ...
Gruß
schachuzipus
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