Gleichung mit pq-Formel lösen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:
[mm] iz^2+(-2 [/mm] + i)z + (-1 -i) = 0
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Ich bin zunächst mit der pq-Formel heran gegangen:
[mm] iz^2+(-2 [/mm] + i)z + (-1 -i) = 0 | : i
[mm] z^2 [/mm] + [mm] \bruch{-2 + i}{i}z [/mm] + [mm] \bruch{-1-i}{i} [/mm] = 0
pq-Formel:
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{-2 + i}{2i} \pm \wurzel{(\bruch{-2 + i}{2i})^2 - \bruch{-1-i}{i}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{-2 + i}{2i} \pm \wurzel{(\bruch{3-4i}{-4})^2 - \bruch{-1-i}{i}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{-2 + i}{2i} \pm \wurzel{(\bruch{3i+4}{-4i})^2 - \bruch{4+4ii}{-4i}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{-2 + i}{2i} \pm \wurzel{\bruch{7i}{-4i} }
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{-2 + i}{2i} \pm \wurzel{-\bruch{7}{4} }
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{-2 + i}{2i} \pm \bruch{\wurzel{7}}{2}i
[/mm]
Kann jetzt sonst noch etwas tun, oder ist das somit erledigt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo derHandwerk!
Da scheint mir irgendwie beim Umformen unter der Wurzel etwas schief gelaufen zu sein.
Ich würde auch vor Anwendung der  p/q-Formel die beiden Brüche [mm] $\bruch{-2+i}{i}$ [/mm] sowie [mm] $\bruch{-1-i}{i}$ [/mm] derart umzuformen, dass $i_$ nicht mehr im Nenner steht. Das vereinfacht die Sache erheblich.
Gruß
Loddar
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Ich kann ja beide Brüche mit i erweitern:
[mm] z^2 [/mm] + [mm] (\bruch{-2 + i}{i})z [/mm] + [mm] \bruch{-1 -i}{i} [/mm] =0
[mm] z^2 [/mm] + [mm] (-\bruch{-2i -1}{-1})z [/mm] + [mm] (-\bruch{-1i + 1}{-1}) [/mm] = 0
[mm] z^2 [/mm] + [mm] (\bruch{-2i -1}{1})z [/mm] + [mm] (\bruch{-1i + 1}{1}) [/mm] = 0
[mm] z^2 [/mm] +(-2i+1)z + (-1i + 1) = 0
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Hallo derhandwerk,
da haste einen VZF reingehauen...
> Ich kann ja beide Brüche mit i erweitern:
>
> [mm]z^2[/mm] + [mm](\bruch{-2 + i}{i})z[/mm] + [mm]\bruch{-1 -i}{i}[/mm] =0
>
> [mm]z^2[/mm] + [mm](-\bruch{-2i -1}{-1})z[/mm] + [mm](-\bruch{-1i + 1}{-1})[/mm] = 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso die Vorzeichen vor den Brüchen? Die sind falsch!!
Wenn du die weglässt, kommst du auf die richtige Gleichung:
[mm] $z^2+(1+2i)z+(-1+i)=0$
[/mm]
Die kannst du dann entweder mit quadratischer Ergänzung oder wie oben mit der $p/q$-Formel lösen
>
> [mm]z^2[/mm] + [mm](\bruch{-2i -1}{1})z[/mm] + [mm](\bruch{-1i + 1}{1})[/mm] = 0
>
> [mm]z^2[/mm] +(-2i+1)z + (-1i + 1) = 0
Gruß
schachuzipus
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Also wo die beiden Vorzeichen herkommen kann ich jetzt auch nicht erklären, sie gehören aber definitiv nicht dort hin. Ich hab das auch noch mal durch gerechnet und bin dann ebenfalls auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] z^2+(1+2i)z [/mm] + (-1+i) = 0
dann gehe ich über zur pq-Formel:
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{\bruch{(1+2i)^2}{4} + 1 - i}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{-\bruch{3}{4} + \bruch{4}{4} - \bruch{4i}{4}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{-\bruch{3}{4} + \bruch{4}{4} - \bruch{4i}{4}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} - \bruch{4i}{4}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} \pm \bruch{\wurzel{1-4i}}{2}
[/mm]
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Oh man, da hab ich mal wieder voll zugeschlagen.
Also dann hab ich nun:
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm] z_1 [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = -1 -i [mm] \vee z_2 [/mm] = [mm] -\bruch{1+2i}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = -i
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Hi nochmal,
nun stimmt's aber 
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
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Juhu!!!
Und danke für euere Mühe und vor allem für eure Geduld!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
