Gleichung mit sin x und cos x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Di 14.06.2005 | | Autor: | Mopetz |
Einen schönen guten Abend!
Hat jemand Lösungsvorschläge für folgende Aufgabe:
sin(2x) - cos(2x) = 1
man bestimme sämtliche Lösungen im Intervall 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 2\pi
[/mm]
Tja, kein Plan wie man da so recht weiter kommt. Irgendwie nach x Auflösen, oder?
Bringt mich das irgendwie weiter wenn ich weiß das folgende gilt?:
sin x = [mm] \bruch{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}) [/mm] bzw.:
cos x = [mm] \bruch{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})
[/mm]
Habs damit mal versucht umzuformen. Da braucht man dann des öfteren mal die ln Funktion um die e-Funktion auszutilgen und um an das x ranzukommen. Letztendlich wurde der Term dann zu kompliziert, als dass da noch was sinnvolles oder richtiges dran sein könnte. Das Endergebniss bestand dann aus lauter ln's (unter anderem auch ln(i), macht das überhaupt sinn?) raus. Jedenfalls kein schönes Ergebniss. Richtiger Weg und einfach nur bei der Rechnerei genauer hinschauen, oder ganz falscher Ansatz? Lösungsvorschläge?
Tschau,
Mopetz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Mopetz,
> Hat jemand Lösungsvorschläge für folgende Aufgabe:
>
> sin(2x) - cos(2x) = 1
>
> man bestimme sämtliche Lösungen im Intervall 0 [mm]\le[/mm] x <
> [mm]2\pi[/mm]
>
> Tja, kein Plan wie man da so recht weiter kommt. Irgendwie
> nach x Auflösen, oder?
> Bringt mich das irgendwie weiter wenn ich weiß das
> folgende gilt?:
>
> sin x = [mm]\bruch{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})[/mm] bzw.:
>
> cos x = [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})[/mm]
Bestimmt 
Die Gleichung sieht doch so aus, als könnte man direkt Additionstheoreme anwenden (habe es aber nicht ausprobiert, bin mir aber ziemlich sicher, dass man es auf dasselbe Ergebnis unten umformen kann). Diese Theoreme lassen sich leicht mit diesen beiden Gleichungen beweisen.
Ich hatte aber zunächst eine andere Idee:
Gleichung quadrieren und den trigonometrischen Pythagoras [mm] ($\sin^2 [/mm] x [mm] +\cos^2 [/mm] x=1$) ausnutzen.
Probe nicht vergessen, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
Viel Erfolg,
Marc
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Hi, Mopetz,
> sin(2x) - cos(2x) = 1
>
> man bestimme sämtliche Lösungen im Intervall 0 [mm]\le[/mm] x <
> [mm]2\pi[/mm]
>
>
> sin x = [mm]\bruch{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})[/mm] bzw.:
>
> cos x = [mm]\bruch{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})[/mm]
>
Also: Das Intervall deutet doch eher auf REELLE ZAHLEN denn auf komplexe hin. Demnach dürfte Dir diese Umformung wenig helfen!
Für solche Aufgaben kann man etwa folgende Lösungswege durchchecken:
(1) Hilft der Tangens weiter? - (Hier leider nicht!)
(2) Haben die Teilfunktionen gleiche Periode? Dann hilft oft das Zeigerdiagramm.
(3) Ansonsten Goniometrie; vor allem:
- Formeln des doppelten Winkels,
- Formeln für die Summe/Differenz von Winkeln,
- oder auch die von Marc genannte: [mm] sin^{2} [/mm] + [mm] cos^{2} [/mm] = 1.
Bei Dir hilft bereits das Zeigerdiagramm.
Mit dessen Hilfe kriegst Du:
sin(2x) - cos(2x) = [mm] \wurzel{2}*sin(2x-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Dadurch wird Deine Gleichung zu:
[mm] \wurzel{2}*sin(2x-\bruch{\pi}{4}) [/mm] = 1
oder:
[mm] sin(2x-\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2} [/mm]
Bei sowas finde ich nun die Substitution am übersichtlichsten:
z = [mm] 2x-\bruch{\pi}{4} [/mm] (***)
Daher: sin(z) = [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2} [/mm]
Lösungen allgemein: [mm] z_{1}=\bruch{\pi}{4}+2k\pi [/mm] und auch: [mm] z_{2}=\bruch{3}{4}*\pi+2k\pi.
[/mm]
Nun musst Du die Substitution (***) rückgängig machen:
z = [mm] 2x-\bruch{\pi}{4} [/mm]
<=> 2x = z + [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
<=> x = [mm] \bruch{z}{2}+\bruch{\pi}{8}
[/mm]
Zunächst Lösungen für x allgemein:
x = [mm] \bruch{\pi}{4}+k*\pi \vee [/mm] x = [mm] \bruch{\pi}{2}+k*\pi [/mm]
Und nun musst Du nur noch diejenigen Lösungen raussuchen, die im vorgegebenen Intervall liegen, also zischen 0 und [mm] 2\pi:
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4}; [/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2};
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}\pi; [/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}\pi.
[/mm]
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