Gleichung nit nat. Logarithmus < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm]\ln\wurzel{x}=\wurzel{\ln x}[/mm] |
*nix rumgeposter*
Hallo Gemeinde
Mein genialer TI-89 Titanium spuckt das Ergebnis nullkommaplötzlich raus. Bravo.
[mm]x_{1}=1[/mm]
[mm] x_{2}=\mathrm{e}^{4}[/mm]
Probe für [mm]x=1[/mm]
[mm]\ln\wurzel{1}=\ln1=0=\wurzel{0}=\wurzel{\ln 1}[/mm]
wegen Logarithmusdefinition
[mm]\mathrm{e}^{0}=1 \gdw 0=\ln 1[/mm]
Probe für [mm]x=\mathrm{e}^{4}[/mm]
linke Seite
[mm]\ln\wurzel{\mathrm{e}^{4}}=\ln\mathrm{e}^\bruch{4}{2}
=\ln\mathrm{e}^{2}=2\ln\mathrm{e}=2*1=2[/mm]
rechte Seite
[mm]\wurzel{\ln \mathrm{e}^{4}}=\wurzel{4*\ln\mathrm{e}}=2\wurzel{\ln\mathrm{e}}=2\wurzel{1}=2[/mm]
Aber ich hätte gerne verstanden, wie Mensch das löst, wenn die Batterien für den Rechner im Aldi (ja gibt es jetzt auch in der Schweiz) gerade wieder ausverkauft sind.
Grüsse aus Zurich by night
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:29 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beni!
Es gilt ja: [mm] $\ln\left( \ \wurzel{x} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left( \ x^{\bruch{1}{2}} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln(x)$
[/mm]
Damit wird aus der Gleichung: [mm] $\bruch{1}{2}*\ln(x) [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\ln(x)}$
[/mm]
Nun diese Gleichung quadrieren (und am Ende die Probe machen!):
[mm] $\bruch{1}{4}*\ln^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)$
[/mm]
Die Substitution $u \ := \ [mm] \ln(x)$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] e^u$ [/mm] liefert diese quadratische Gleichung:
[mm] $\bruch{1}{4}*u^2 [/mm] \ = \ u$
Schaffst Du den Rest selber?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Danke für den Tipp, ich wäre auch dann nicht darauf gekommen, wenn ich so lange wie Du wach geblieben wäre.
Frisch ausgeschlafen leuchtet Dein Weg natürlich unmittelbar ein. Zugegeben, bei der Substitution braucht es halt immer etwas Glück.
[mm] $\bruch{1}{4}\cdot{}u^2 [/mm] \ = \ u$
[mm] $u^{2} [/mm] \ -4u \ -0 \ = \ 0$
[mm] $u_{1,2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{-4}{2} [/mm] \ [mm] \pm \wurzel{ \left( \bruch{-4}{2}\right) ^{2} \ -0}$
[/mm]
[mm] $u_{1} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $u_{2} [/mm] \ = \ 4$
Substitution rückgängig machen
$u \ = \ [mm] \ln [/mm] \ x \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ [mm] e^{u} [/mm] \ = \ x$
für [mm] $u_{1} [/mm] \ = \ 0$
[mm] $e^{u} [/mm] \ = [mm] e^{0} [/mm] \ = \ 1 \ = [mm] x_{1}$
[/mm]
für [mm] $u_{2} [/mm] \ = \ 4$
[mm] $e^{u} [/mm] \ = \ [mm] e^{4} [/mm] \ = [mm] x_{2}$
[/mm]
Da ich die Probe bereits am Anfang gemacht habe, kann ich hier darauf verzichten 
Gruss aus Zürich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Beni!
> [mm]u^{2} \ -4u \ -0 \ = \ 0[/mm]
Hier hätte man durch Ausklammern auch etwas kürzer verfahren und auf die p/q-Formel verzichten können:
[mm] $u^2-4*u [/mm] \ = \ u*(u-4) \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ [/mm] $u \ = \ 0$ oder $u \ = \ 4$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Sa 22.04.2006 | | Autor: | BeniMuller |
Hallo Loddar
Vor 30 Jahren habe ich die p/q Formel zuletzt gebraucht. Jetzt habe ich sie dank Matheraum wieder auswendig gelernt und dann soll es einfacher gehen. Das ist doch unfair
Spass beiseite, ich bin nimmer sehr froh um Abkürzungen und alternative Lösungswege. Dadurch webt sich das ganze Gebiet der Mathematik ja erst zu einem fliegenden Teppich zusammen.
Guten Morgen wünscht
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