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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 Fr 28.06.2013 | | Autor: | JPC |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
Hallo ihr Lieben,
wir haben in der Uni bei einer Aufgabe nur die Anfangsformel und die Endlösung gegeben. Ich versuche nun schon seit geraumer Zeit selber von der ersten zu der letzten Formel zu gelangen, aber egal wie ich es anstelle, ich habe in der Endlösung immer einen Faktor zu viel.
Kann mir irgendjemand helfen oder mir sagen, wo mein Denkfehler ist?
Ausgangsgleichung:
[mm] \bruch{ (dr + dt) }{F"(K1)} [/mm] + [mm] \summe_{i=2}^{N} [/mm] ( [mm] \bruch{dr}{F"(Ki)} [/mm] = 0
Endgleichung: [mm] \bruch{dr}{dt} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{N} \bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}}
[/mm]
Mein Lösungsversuch:
- Ausgangsgleichung
- dr + dt + dr [mm] {\summe_{i=1}^{N} \bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}} [/mm] = 0
- [mm] \bruch{dr}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{dt}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{dr}{dt} {\summe_{i=1}^{N} \bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}} [/mm] = 0
- [mm] \bruch{dr}{dt} [/mm] + 1 + [mm] \bruch{dr}{dt} {\summe_{i=1}^{N} \bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}} [/mm] = 0
- [mm] \bruch{dr}{dt} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{{\summe_{i=1}^{N} \bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}}} [/mm] - [mm] \bruch{dr}{dt}
[/mm]
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Hallo JPC,
man muss ehrlich sagen, dass es nicht ganz klar ist, wie du hier deine Bezeichnungen wählst. Kommen hier Ableitungen vor?
Wie auch immer, folgendes sollte so klappen:
[mm] \bruch{ (dr + dt) }{F"(K1)}+\summe_{i=2}^{N}\bruch{dr}{F"(Ki)}=0
[/mm]
Zuerst die Summe auf die andere Seite:
[mm] \bruch{ (dr + dt) }{F"(K1)}=-\summe_{i=2}^{N}\bruch{dr}{F"(Ki)}
[/mm]
Wir bringen F''(K1) auf die andere Seite durch Multiplikation. Da F''(K1) gar nicht von i abhängt, können wir auch das ganze mit in die Summe reinschieben. Also ergibt sich:
[mm] (dr+dt)=-\summe_{i=2}^{N}\bruch{F"(K1)*dr}{F"(Ki)}
[/mm]
Nun hängt aber auch das $dr$ auf der rechten Seite gar nicht von i ab, also ziehen wir das ganze aus der Summe heraus und teilen dann dadurch. Wir erhalten:
[mm] \frac{dr+dt}{dr}=-\summe_{i=2}^{N}\bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}
[/mm]
Das ist aber nichts anderes als:
[mm] 1+\frac{dt}{dr}=-\summe_{i=2}^{N}\bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}
[/mm]
Wir subtrahieren noch die 1
[mm] \frac{dt}{dr}=-\summe_{i=2}^{N}\bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}-1
[/mm]
So, nun haben wir es doch schon fast! Jetzt sind wir aber an einer Stelle, wo man unbedingt wissen muss, was die einzelnen Funktionen für eine Bedeutung haben. Hier wurde nämliche eine Indexverschiebung vorgenommen. Das heißt also, die Summe beginnt eigentlich bei i=1 "an zu summieren". Daher kommt also die 1.
Mit der Indexverschiebung haben wir dann aber das gesuchte Ergebnis.
[mm] \frac{dt}{dr}=-\summe_{i=1}^{N}\bruch{F"(K1)}{F"(Ki)}
[/mm]
Der letzte Schritt ist nur eine Vermutung, wie gesagt, man muss wissen, was F(K) bedeutet.
Aber ich bin mir sehr sicher, dass es so ist.
Grüße.
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